Tangente a una circunferencia — Propiedades y teoremas

Una tangente a una circunferencia es una recta que toca la circunferencia en exactamente un punto. El teorema clave dice que el radio trazado hasta el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente, así que muchos problemas de tangentes se convierten muy rápido en problemas de triángulos rectángulos o de ángulos.

Si una recta solo parece tocar la circunferencia, no uses los teoremas de la tangente hasta que esa condición esté clara. La mayoría de los errores ocurren cuando se trata una secante o una recta cualquiera como si fuera una tangente.

Tangente a una circunferencia: propiedad principal

Si la recta $l$ es tangente a una circunferencia en el punto $T$, entonces

$$OT \perp l$$

donde $O$ es el centro de la circunferencia.

Esto suele llamarse teorema radio-tangente. La condición importa: el radio debe terminar en el punto donde la tangente toca la circunferencia.

Tangente vs. secante

Una tangente corta la circunferencia una sola vez. Una secante atraviesa la circunferencia y la corta en dos puntos.

Esa diferencia parece pequeña en un dibujo, pero es importante en una demostración. Los teoremas de la tangente no se aplican automáticamente a secantes ni a cuerdas.

Tangentes iguales desde un mismo punto exterior

Si se trazan dos tangentes desde el mismo punto exterior $P$ a una circunferencia, y tocan la circunferencia en $A$ y $B$, entonces sus longitudes son iguales:

$$PA = PB$$

Esto es útil cuando se conoce la longitud de una tangente y falta la otra. La condición es importante: ambas tangentes deben salir del mismo punto exterior.

Ejemplo resuelto: hallar la longitud de una tangente

Supón que una circunferencia tiene centro $O$. Desde un punto exterior $P$, una tangente toca la circunferencia en $T$. Sea

$$OT = 5$$

y

$$OP = 13.$$

Halla la longitud de la tangente $PT$.

Como $OT$ es un radio trazado hasta el punto de tangencia, es perpendicular a la recta tangente. Entonces el triángulo $OPT$ es un triángulo rectángulo con ángulo recto en $T$.

Usa el teorema de Pitágoras:

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

Sustituye los valores:

$$13^2 = 5^2 + PT^2$$ $$169 = 25 + PT^2$$ $$PT^2 = 144$$ $$PT = 12$$

Así, el segmento tangente tiene longitud $12$.

Este es el patrón estándar para hallar la longitud de una tangente: encuentra el punto de tangencia, marca el ángulo recto y luego resuelve el triángulo rectángulo.

Errores comunes en problemas de tangentes

Perpendicular no siempre significa tangente

Una recta perpendicular a un radio es tangente solo cuando pasa por el extremo del radio sobre la circunferencia. Ser perpendicular en otro punto no es suficiente.

Una secante no es una tangente

Si una recta corta la circunferencia en dos puntos, es una secante, no una tangente. Usar ahí las reglas de la tangente dará un resultado incorrecto.

Las tangentes iguales necesitan el mismo punto exterior

La regla $PA = PB$ solo se aplica cuando ambos segmentos tangentes salen del mismo punto exterior hacia la misma circunferencia.

El ángulo recto tiene una ubicación específica

El ángulo recto está entre la tangente y el radio trazado hasta el punto de tangencia. No aparece automáticamente entre la tangente y cualquier segmento desde el centro o desde el punto exterior.

Cuándo se usan las tangentes a circunferencias

Las tangentes a circunferencias aparecen en geometría escolar, geometría analítica y demostraciones con diagramas sobre ángulos y longitudes. También llevan a ideas relacionadas, como los ángulos entre tangente y cuerda, las construcciones con circunferencias y los problemas de potencia de un punto.

Comprobación rápida antes de resolver

Cuando veas una tangente, pregúntate:

1. ¿Dónde está el punto de tangencia?
2. ¿Qué radio llega a ese punto?
3. ¿Eso forma un triángulo rectángulo o una configuración de tangentes iguales?

Estas tres comprobaciones detectan la mayoría de los errores de planteamiento antes de empezar a calcular.

Prueba un problema similar

Intenta tu propia versión con la misma configuración pero con números distintos, como $OT = 7$ y $OP = 25$. Resuelve $PT$ y luego comprueba si tu respuesta tiene sentido geométrico. Si quieres otro caso de inmediato, explora un problema similar de geometría de la circunferencia en GPAI Solver.