Tangente à un cercle — Propriétés et théorèmes

Une tangente à un cercle est une droite qui touche le cercle en un seul point. Le théorème essentiel dit que le rayon mené au point de tangence est perpendiculaire à la tangente, donc les problèmes de tangente se transforment souvent très vite en problèmes de triangle rectangle ou d’angles.

Si une droite semble seulement toucher le cercle, n’utilisez pas les théorèmes sur les tangentes tant que cette condition n’est pas clairement établie. La plupart des erreurs viennent du fait qu’on traite une sécante ou une droite ordinaire comme une tangente.

Tangente à un cercle : propriété principale

Si la droite $l$ est tangente à un cercle au point $T$, alors

$$OT \perp l$$

où $O$ est le centre du cercle.

On appelle souvent cela le théorème du rayon et de la tangente. La condition est importante : le rayon doit aboutir au point où la tangente touche le cercle.

Tangente ou sécante

Une tangente rencontre le cercle une seule fois. Une sécante coupe le cercle et le rencontre en deux points.

La différence paraît faible sur une figure, mais elle est importante dans une démonstration. Les théorèmes sur les tangentes ne s’appliquent pas automatiquement aux sécantes ni aux cordes.

Tangentes égales issues d’un même point extérieur

Si deux tangentes sont tracées depuis le même point extérieur $P$ vers un cercle, et qu’elles touchent le cercle en $A$ et $B$, alors leurs longueurs sont égales :

$$PA = PB$$

C’est utile quand la longueur d’une tangente est connue et que l’autre manque. La condition est importante : les deux tangentes doivent partir du même point extérieur.

Exemple résolu : trouver la longueur d’une tangente

Supposons qu’un cercle ait pour centre $O$. Depuis un point extérieur $P$, une tangente touche le cercle en $T$. On a

$$OT = 5$$

et

$$OP = 13.$$

Trouvez la longueur de la tangente $PT$.

Comme $OT$ est un rayon mené au point de tangence, il est perpendiculaire à la tangente. Donc le triangle $OPT$ est rectangle en $T$.

Utilisez le théorème de Pythagore :

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

Remplacez par les valeurs :

$$13^2 = 5^2 + PT^2$$ $$169 = 25 + PT^2$$ $$PT^2 = 144$$ $$PT = 12$$

Donc le segment tangent a pour longueur $12$.

C’est le schéma classique pour une longueur de tangente : repérez le point de tangence, marquez l’angle droit, puis résolvez le triangle rectangle.

Erreurs fréquentes dans les problèmes de tangente

Perpendiculaire ne veut pas toujours dire tangente

Une droite perpendiculaire à un rayon est tangente seulement si elle passe par l’extrémité du rayon située sur le cercle. Être perpendiculaire ailleurs ne suffit pas.

Une sécante n’est pas une tangente

Si une droite coupe le cercle en deux points, c’est une sécante, pas une tangente. Utiliser les règles des tangentes dans ce cas donnera un résultat faux.

Les tangentes égales doivent venir du même point extérieur

La règle $PA = PB$ ne s’applique que lorsque les deux segments tangents partent du même point extérieur vers le même cercle.

L’angle droit a un emplacement précis

L’angle droit est formé entre la tangente et le rayon mené au point de tangence. Il n’est pas automatiquement formé entre la tangente et tout segment issu du centre ou du point extérieur.

Quand utilise-t-on les tangentes aux cercles ?

Les tangentes aux cercles apparaissent en géométrie scolaire, en géométrie analytique et dans les démonstrations sur les angles et les longueurs. Elles mènent aussi à des idées liées comme l’angle entre tangente et corde, les constructions de cercles et les problèmes de puissance d’un point.

Vérification rapide avant de résoudre

Quand vous voyez une tangente, demandez-vous :

1. Où est le point de tangence ?
2. Quel rayon va jusqu’à ce point ?
3. Cela crée-t-il un triangle rectangle ou une configuration de tangentes égales ?

Ces trois vérifications permettent d’éviter la plupart des erreurs de mise en place avant de commencer les calculs.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec la même configuration mais des nombres différents, par exemple $OT = 7$ et $OP = 25$. Résolvez pour $PT$, puis vérifiez si votre réponse a un sens géométrique. Si vous voulez tout de suite un autre cas, explorez un problème similaire de géométrie du cercle dans GPAI Solver.