Garis Singgung Lingkaran — Sifat & Teorema

Garis singgung lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Teorema utamanya menyatakan bahwa jari-jari yang ditarik ke titik singgung tegak lurus terhadap garis singgung, sehingga soal garis singgung sering cepat berubah menjadi soal segitiga siku-siku atau sudut.

Jika sebuah garis hanya tampak seperti menyentuh lingkaran, jangan gunakan teorema garis singgung sampai kondisi itu benar-benar jelas. Sebagian besar kesalahan terjadi ketika sebuah sekan atau garis biasa dianggap sebagai garis singgung.

Garis Singgung Lingkaran: Sifat Utama

Jika garis $l$ menyinggung sebuah lingkaran di titik $T$, maka

$$OT \perp l$$

dengan $O$ sebagai pusat lingkaran.

Ini sering disebut teorema jari-jari dan garis singgung. Syaratnya penting: jari-jari harus berakhir di titik tempat garis singgung menyentuh lingkaran.

Garis Singgung vs. Sekan

Garis singgung bertemu lingkaran satu kali. Sekan memotong lingkaran dan bertemu dengannya di dua titik.

Perbedaan itu tampak kecil pada gambar, tetapi penting dalam pembuktian. Teorema garis singgung tidak otomatis berlaku untuk sekan atau tali busur.

Dua Garis Singgung dari Satu Titik Luar Sama Panjang

Jika dua garis singgung ditarik dari titik luar yang sama $P$ ke sebuah lingkaran, dan keduanya menyentuh lingkaran di $A$ dan $B$, maka panjangnya sama:

$$PA = PB$$

Ini berguna ketika panjang salah satu garis singgung diketahui dan yang lain belum diketahui. Syaratnya penting: kedua garis singgung harus berasal dari titik luar yang sama.

Contoh Soal: Mencari Panjang Garis Singgung

Misalkan sebuah lingkaran berpusat di $O$. Dari titik luar $P$, sebuah garis singgung menyentuh lingkaran di $T$. Diketahui

$$OT = 5$$

dan

$$OP = 13.$$

Tentukan panjang garis singgung $PT$.

Karena $OT$ adalah jari-jari yang ditarik ke titik singgung, maka garis itu tegak lurus terhadap garis singgung. Jadi segitiga $OPT$ adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di $T$.

Gunakan teorema Pythagoras:

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

Substitusikan nilainya:

$$13^2 = 5^2 + PT^2$$ $$169 = 25 + PT^2$$ $$PT^2 = 144$$ $$PT = 12$$

Jadi panjang ruas garis singgung adalah $12$.

Inilah pola standar panjang garis singgung: tentukan titik singgung, tandai sudut siku-siku, lalu selesaikan segitiga siku-sikunya.

Kesalahan Umum dalam Soal Garis Singgung

Tegak lurus tidak selalu berarti garis singgung

Sebuah garis yang tegak lurus terhadap jari-jari hanya merupakan garis singgung jika garis itu melalui ujung jari-jari pada lingkaran. Tegak lurus di tempat lain tidak cukup.

Sekan bukan garis singgung

Jika sebuah garis memotong lingkaran di dua titik, itu adalah sekan, bukan garis singgung. Menggunakan aturan garis singgung di situ akan memberi hasil yang salah.

Dua garis singgung sama panjang harus dari titik luar yang sama

Aturan $PA = PB$ hanya berlaku jika kedua ruas garis singgung berasal dari titik luar yang sama menuju lingkaran yang sama.

Sudut siku-siku berada di lokasi tertentu

Sudut siku-siku terletak di antara garis singgung dan jari-jari yang menuju titik singgung. Sudut itu tidak otomatis terbentuk antara garis singgung dan setiap ruas dari pusat atau titik luar.

Kapan Garis Singgung Lingkaran Digunakan

Garis singgung lingkaran muncul dalam geometri sekolah, geometri koordinat, dan pembuktian gambar tentang sudut serta panjang. Konsep ini juga mengarah ke ide terkait seperti sudut garis singgung-tali busur, konstruksi lingkaran, dan soal power of a point.

Cek Cepat Sebelum Menyelesaikan

Saat kamu melihat garis singgung, tanyakan:

1. Di mana titik singgungnya?
2. Jari-jari mana yang menuju titik itu?
3. Apakah itu membentuk segitiga siku-siku atau situasi dua garis singgung sama panjang?

Tiga pemeriksaan ini menangkap sebagian besar kesalahan penyusunan sebelum kamu mulai menghitung.

Coba Soal Serupa

Cobalah versimu sendiri dengan susunan yang sama tetapi angka berbeda, misalnya $OT = 7$ dan $OP = 25$. Cari $PT$, lalu periksa apakah jawabanmu masuk akal secara geometri. Jika kamu ingin contoh lain sekarang juga, jelajahi soal geometri lingkaran serupa di GPAI Solver.