Styczna do okręgu — własności i twierdzenia

Styczna do okręgu to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Najważniejsze twierdzenie mówi, że promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc zadania o stycznej bardzo szybko sprowadzają się do trójkątów prostokątnych albo zależności kątowych.

Jeśli prosta tylko wygląda tak, jakby dotykała okręgu, nie stosuj twierdzeń o stycznej, dopóki ten warunek nie jest jasno spełniony. Większość błędów bierze się z traktowania siecznej albo zwykłej prostej jak stycznej.

Styczna do okręgu: główna własność

Jeśli prosta $l$ jest styczna do okręgu w punkcie $T$, to

$$OT \perp l$$

gdzie $O$ jest środkiem okręgu.

To twierdzenie często nazywa się twierdzeniem o promieniu i stycznej. Warunek ma znaczenie: promień musi kończyć się w punkcie, w którym styczna dotyka okręgu.

Styczna a sieczna

Styczna ma z okręgiem jeden punkt wspólny. Sieczna przecina okrąg i ma z nim dwa punkty wspólne.

Na rysunku ta różnica może wydawać się niewielka, ale w dowodzie jest bardzo ważna. Twierdzenia o stycznej nie stosują się automatycznie do siecznych ani cięciw.

Równe styczne poprowadzone z jednego punktu zewnętrznego

Jeśli z tego samego punktu zewnętrznego $P$ do okręgu poprowadzono dwie styczne, które dotykają okręgu w punktach $A$ i $B$, to ich długości są równe:

$$PA = PB$$

To jest przydatne, gdy długość jednej stycznej jest znana, a drugiej nie. Warunek jest ważny: obie styczne muszą być poprowadzone z tego samego punktu zewnętrznego.

Przykład: oblicz długość stycznej

Załóżmy, że okrąg ma środek $O$. Z punktu zewnętrznego $P$ poprowadzono styczną, która dotyka okręgu w punkcie $T$. Niech

$$OT = 5$$

oraz

$$OP = 13.$$

Oblicz długość stycznej $PT$.

Ponieważ $OT$ jest promieniem poprowadzonym do punktu styczności, jest prostopadły do stycznej. Zatem trójkąt $OPT$ jest trójkątem prostokątnym z kątem prostym w punkcie $T$.

Użyj twierdzenia Pitagorasa:

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

Podstaw wartości:

$$13^2 = 5^2 + PT^2$$ $$169 = 25 + PT^2$$ $$PT^2 = 144$$ $$PT = 12$$

Zatem odcinek stycznej ma długość $12$.

To jest standardowy schemat w zadaniach o długości stycznej: znajdź punkt styczności, zaznacz kąt prosty, a potem rozwiąż trójkąt prostokątny.

Częste błędy w zadaniach o stycznej

Prostopadłość nie zawsze oznacza styczną

Prosta prostopadła do promienia jest styczna tylko wtedy, gdy przechodzi przez koniec tego promienia leżący na okręgu. Prostopadłość w innym miejscu nie wystarcza.

Sieczna to nie styczna

Jeśli prosta przecina okrąg w dwóch punktach, to jest sieczną, a nie styczną. Zastosowanie tam własności stycznej da błędny wynik.

Równe styczne wymagają tego samego punktu zewnętrznego

Zależność $PA = PB$ zachodzi tylko wtedy, gdy oba odcinki stycznych są poprowadzone z tego samego punktu zewnętrznego do tego samego okręgu.

Kąt prosty ma określone położenie

Kąt prosty znajduje się między styczną a promieniem poprowadzonym do punktu styczności. Nie występuje automatycznie między styczną a każdym odcinkiem poprowadzonym ze środka lub z punktu zewnętrznego.

Gdzie wykorzystuje się styczne do okręgów

Styczne do okręgów pojawiają się w geometrii szkolnej, geometrii analitycznej i w dowodach opartych na rysunkach dotyczących kątów oraz długości. Prowadzą też do powiązanych zagadnień, takich jak kąt między styczną a cięciwą, konstrukcje geometryczne i zadania o potędze punktu względem okręgu.

Szybkie sprawdzenie przed rozwiązaniem

Gdy widzisz styczną, zapytaj:

1. Gdzie jest punkt styczności?
2. Który promień jest poprowadzony do tego punktu?
3. Czy z tego powstaje trójkąt prostokątny albo układ równych stycznych?

Te trzy pytania pozwalają wychwycić większość błędów w ustawieniu zadania, zanim zaczniesz liczyć.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj ułożyć własną wersję z tym samym układem, ale z innymi liczbami, na przykład $OT = 7$ i $OP = 25$. Oblicz $PT$, a potem sprawdź, czy odpowiedź ma sens geometryczny. Jeśli chcesz od razu zobaczyć kolejny przypadek, przeanalizuj podobne zadanie z geometrii okręgu w GPAI Solver.