Tangente an einen Kreis — Eigenschaften & Sätze

Eine Tangente an einen Kreis ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Der wichtigste Satz besagt, dass der Radius zum Berührpunkt senkrecht auf der Tangente steht. Deshalb lassen sich Tangentenaufgaben oft sehr schnell in rechtwinklige Dreiecke oder Winkelaufgaben umwandeln.

Wenn eine Gerade nur so aussieht, als würde sie den Kreis berühren, solltest du Tangentensätze erst anwenden, wenn diese Bedingung wirklich erfüllt ist. Die meisten Fehler entstehen, wenn eine Sekante oder eine gewöhnliche Gerade wie eine Tangente behandelt wird.

Tangente an einen Kreis: Haupteigenschaft

Wenn die Gerade $l$ den Kreis im Punkt $T$ tangiert, dann gilt

$$OT \perp l$$

wobei $O$ der Mittelpunkt des Kreises ist.

Das wird oft Radius-Tangente-Satz genannt. Die Bedingung ist wichtig: Der Radius muss genau im Punkt enden, in dem die Tangente den Kreis berührt.

Tangente vs. Sekante

Eine Tangente trifft den Kreis einmal. Eine Sekante schneidet den Kreis und trifft ihn in zwei Punkten.

Dieser Unterschied wirkt in einer Zeichnung klein, ist in einem Beweis aber wichtig. Tangentensätze gelten nicht automatisch für Sekanten oder Sehnen.

Gleiche Tangenten von einem äußeren Punkt

Werden von demselben äußeren Punkt $P$ zwei Tangenten an einen Kreis gezeichnet und berühren den Kreis in $A$ und $B$, dann sind ihre Längen gleich:

$$PA = PB$$

Das ist nützlich, wenn die Länge einer Tangente bekannt ist und die andere fehlt. Die Bedingung ist wichtig: Beide Tangenten müssen vom selben äußeren Punkt ausgehen.

Beispiel: Bestimme die Länge einer Tangente

Angenommen, ein Kreis hat den Mittelpunkt $O$. Von einem äußeren Punkt $P$ berührt eine Tangente den Kreis im Punkt $T$. Es gilt

$$OT = 5$$

und

$$OP = 13.$$

Bestimme die Tangentenlänge $PT$.

Da $OT$ ein Radius zum Berührpunkt ist, steht er senkrecht auf der Tangente. Das Dreieck $OPT$ ist also ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei $T$.

Verwende den Satz des Pythagoras:

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

Setze die Werte ein:

$$13^2 = 5^2 + PT^2$$ $$169 = 25 + PT^2$$ $$PT^2 = 144$$ $$PT = 12$$

Die Tangentenstrecke hat also die Länge $12$.

Das ist das Standardmuster für Tangentenlängen: Finde den Berührpunkt, markiere den rechten Winkel und löse dann das rechtwinklige Dreieck.

Häufige Fehler bei Tangentenaufgaben

Senkrecht bedeutet nicht immer Tangente

Eine Gerade, die senkrecht auf einem Radius steht, ist nur dann eine Tangente, wenn sie durch den Endpunkt des Radius auf dem Kreis verläuft. Irgendwo anders senkrecht zu sein, reicht nicht aus.

Eine Sekante ist keine Tangente

Wenn eine Gerade den Kreis in zwei Punkten schneidet, ist sie eine Sekante und keine Tangente. Wer dort Tangentenregeln benutzt, erhält ein falsches Ergebnis.

Gleiche Tangenten brauchen denselben äußeren Punkt

Die Regel $PA = PB$ gilt nur, wenn beide Tangentenstrecken vom selben äußeren Punkt zum selben Kreis verlaufen.

Der rechte Winkel liegt an einer bestimmten Stelle

Der rechte Winkel liegt zwischen der Tangente und dem Radius zum Berührpunkt. Er liegt nicht automatisch zwischen der Tangente und jeder Strecke vom Mittelpunkt oder vom äußeren Punkt.

Wann Tangenten an Kreisen verwendet werden

Tangenten an Kreisen kommen in der Schulgeometrie, in der analytischen Geometrie und in Beweisen mit Zeichnungen zu Winkeln und Längen vor. Sie führen auch zu verwandten Themen wie dem Winkel zwischen Tangente und Sehne, Kreiskonstruktionen und Aufgaben zur Potenz eines Punktes.

Kurzer Check, bevor du losrechnest

Wenn du eine Tangente siehst, frage dich:

1. Wo liegt der Berührpunkt?
2. Welcher Radius geht zu diesem Punkt?
3. Entsteht dadurch ein rechtwinkliges Dreieck oder eine Situation mit gleichen Tangenten?

Diese drei Fragen verhindern die meisten Ansatzfehler, bevor du mit dem Rechnen beginnst.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche deine eigene Variante mit demselben Aufbau, aber anderen Zahlen, zum Beispiel $OT = 7$ und $OP = 25$. Löse nach $PT$ auf und prüfe dann, ob dein Ergebnis geometrisch sinnvoll ist. Wenn du sofort noch einen weiteren Fall möchtest, schau dir ein ähnliches Problem zur Kreisgeometrie im GPAI Solver an.