Routh-Hurwitz 稳定判据

Routh-Hurwitz 稳定判据可以在不直接求解特征多项式根的情况下，判断有多少个根位于右半平面。在控制系统中，这为连续时间系统是否渐近稳定提供了一种快速检验方法。

对于实系数多项式

p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,

且 $a_n > 0$ ，构造 Routh 表并检查其第一列。在正确处理第一列出现零元素或整行为零等特殊情况后，第一列中的符号变化次数就等于实部为正的根的个数。如果没有符号变化，那么所有根都位于开左半平面。

Routh-Hurwitz 判据检查什么

在大多数控制问题中，稳定性意味着每个特征根都满足 $\operatorname{Re}(s) < 0$ 。这一点很重要：通常的 Routh-Hurwitz 判据适用于 $s$ 平面中的连续时间系统，而不适用于 $z$ 平面中的离散时间系统。

它的实际价值在于速度快。你只需根据多项式系数就能判断稳定性，这通常比求出精确根更容易。

先按 $s$ 的降幂排列多项式系数。前两行按交替方式放入系数：

\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}

然后利用上面两行计算下面各行。对于三次多项式，

p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,

其 Routh 表为：

\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}

因此，对于首项系数为正的三次多项式，渐近稳定要求

a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.

最后这个不等式是很多人容易忽略的部分。仅仅所有系数都为正还不够。

考虑

p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.

所有系数都是正的，所以乍一看它似乎是稳定的。Routh 表会说明为什么这个结论是错误的。

\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}

将 $s^1$ 行化简后得到

\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}

现在只看第一列：

1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.

这里有两次符号变化，分别是从 $1$ 到 $-6$ ，以及从 $-6$ 到 $8$ 。因此该多项式在右半平面有 $2$ 个根，这意味着系统不稳定。

这里最重要的直觉是：对于三次及以上的多项式，系数全为正并不能保证稳定。

即使所有系数都为正，也不自动意味着系统稳定。上面的例子正是一个反例。

通常的 Routh-Hurwitz 判据适用于 $s$ 中的连续时间特征多项式。如果你研究的是离散时间系统，就需要使用其他判据。

第一列出现零元素，或者某一整行为零，都是特殊情况，不是正常的停止点。这些情况需要额外处理，通常会用到小扰动或辅助多项式。

在构造 Routh 表之前，最稳妥的做法是先把多项式写成 $s$ 的降幂形式，并确保首项系数为正。否则很容易误读符号检验结果。

当模型导出了一个特征多项式，而你又需要快速判断稳定性时，就可以使用 Routh-Hurwitz 判据。

在控制系统中，它可以在不显式计算极点的情况下判断闭环系统是否稳定。在电路模型和机械模型中，它有助于检验参数选择会导致响应衰减还是增长。在设计工作中，它也适合用来寻找使系统保持稳定的参数范围。

当精确求根既耗时又没有必要时，这个方法尤其有用。

对下面这个多项式重复同样的过程：

p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.

构造第一列并检查是否出现符号变化。然后将你的结果与三次情形的条件 $a_1 a_2 > a_3$ 对照，看看两种方法是否一致。

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