라우스-후르비츠 안정도 판별법

라우스-후르비츠 안정도 판별법은 특성다항식의 근을 직접 구하지 않고도, 그중 몇 개가 우반평면에 있는지 알려줍니다. 제어시스템에서는 이를 통해 연속시간 시스템이 점근적으로 안정한지 빠르게 판정할 수 있습니다.

실수 계수를 갖는 다항식

$$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,$$

에서 $a_n > 0$라고 하자. 이때 라우스 표를 만들고 첫 번째 열을 확인합니다. 첫 번째 열에 0이 나타나거나 한 행 전체가 0이 되는 특수한 경우를 적절히 처리한 뒤에는, 첫 번째 열의 부호 변화 횟수가 실수부가 양수인 근의 개수와 같습니다. 부호 변화가 없으면 모든 근은 열린 좌반평면에 있습니다.

라우스-후르비츠 판별법이 확인하는 것

대부분의 제어 문제에서 안정하다는 것은 모든 특성근이 $\operatorname{Re}(s) < 0$를 만족한다는 뜻입니다. 이 조건은 중요합니다. 일반적인 라우스-후르비츠 판별법은 $z$-평면의 이산시간 시스템이 아니라, $s$-평면의 연속시간 시스템에 대한 판별법이기 때문입니다.

실용적인 장점은 속도입니다. 계수만으로 안정도를 판단할 수 있으므로, 정확한 근을 구하는 것보다 훨씬 쉬운 경우가 많습니다.

라우스 표를 만드는 방법

먼저 $s$의 내림차순으로 계수를 나열합니다. 처음 두 행에는 계수를 번갈아 배치합니다.

$$\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}$$

그다음 아래 행들은 바로 위의 두 행으로부터 계산합니다. 3차 다항식의 경우,

$$p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,$$

표는 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}$$

따라서 최고차항의 계수가 양수인 3차 다항식이 점근적으로 안정하려면

$$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.$$

를 만족해야 합니다.

마지막 부등식이 사람들이 자주 놓치는 부분입니다. 계수들이 모두 양수라는 사실만으로는 충분하지 않습니다.

예제: 계수는 모두 양수지만 불안정한 경우

다음을 생각해 봅시다.

$$p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.$$

모든 계수가 양수이므로 처음에는 안정해 보일 수 있습니다. 하지만 라우스 표를 보면 왜 그 결론이 틀렸는지 알 수 있습니다.

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

$s^1$ 행을 정리하면

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

이제 첫 번째 열만 보면 됩니다.

$$1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.$$

부호 변화가 두 번 있습니다. $1$에서 $-6$으로 한 번, $-6$에서 $8$로 한 번입니다. 따라서 이 다항식은 우반평면에 근을 $2$개 가지며, 이는 시스템이 불안정하다는 뜻입니다.

여기서 꼭 기억해야 할 핵심 직관은 이것입니다. 3차 이상에서는 계수들이 모두 양수라고 해서 안정성이 보장되지는 않습니다.

라우스-후르비츠 판별법에서 흔한 실수

계수만 확인하는 경우

모든 계수가 양수라고 해서 시스템이 자동으로 안정한 것은 아닙니다. 위의 예제가 바로 그 반례입니다.

판별법이 적용되는 영역을 혼동하는 경우

일반적인 라우스-후르비츠 판별법은 $s$에 대한 연속시간 특성다항식에 적용됩니다. 이산시간 시스템을 공부하고 있다면 다른 판별법이 필요합니다.

특수한 경우를 무시하는 경우

첫 번째 열에 0이 있거나 한 행 전체가 0이 되는 경우는 계산을 멈추는 일반적인 상황이 아니라 특수한 경우입니다. 이런 경우에는 작은 섭동을 주거나 보조다항식을 사용하는 등의 추가 절차가 필요합니다.

다항식을 정규화하지 않는 경우

표를 만들기 전에 다항식을 $s$의 내림차순으로 쓰고 최고차항의 계수를 양수로 맞추는 것이 가장 안전합니다. 그렇지 않으면 부호 판정을 잘못 읽기 쉽습니다.

라우스-후르비츠 판별법은 언제 쓰는가

모형으로부터 특성다항식이 나오고, 안정도를 빠르게 판단해야 할 때 라우스-후르비츠 판별법을 사용합니다.

제어시스템에서는 폐루프 시스템의 극을 직접 계산하지 않고도 안정한지 확인할 수 있습니다. 회로와 기계 시스템 모델에서는 매개변수 선택이 응답을 감쇠시키는지, 아니면 증폭시키는지 판단하는 데 도움이 됩니다. 설계 작업에서는 시스템을 안정하게 유지하는 매개변수 범위를 찾는 데 유용합니다.

정확한 근을 구하는 일이 느리거나 불필요할 때 특히 도움이 됩니다.

비슷한 안정도 판정을 직접 해보기

다음 다항식에 대해서도 같은 과정을 해보세요.

$$p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.$$

첫 번째 열을 만들고 부호 변화가 있는지 확인해 보세요. 그런 다음 3차 조건 $a_1 a_2 > a_3$와 비교해 보면 두 방법이 같은 결론을 준다는 것을 확인할 수 있습니다.