Kryterium stabilności Routha-Hurwitza

Kryterium stabilności Routha-Hurwitza pozwala określić, ile pierwiastków wielomianu charakterystycznego leży w prawej półpłaszczyźnie, bez bezpośredniego wyznaczania tych pierwiastków. W układach sterowania daje to szybki test, czy układ ciągły jest asymptotycznie stabilny.

Dla wielomianu o rzeczywistych współczynnikach

$$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,$$

przy $a_n > 0$, budujemy tablicę Routha i analizujemy jej pierwszą kolumnę. Po uwzględnieniu przypadków szczególnych, takich jak zero w pierwszej kolumnie lub cały wiersz zer, liczba zmian znaku w tej pierwszej kolumnie jest równa liczbie pierwiastków o dodatniej części rzeczywistej. Jeśli nie ma żadnej zmiany znaku, wszystkie pierwiastki leżą w otwartej lewej półpłaszczyźnie.

Co sprawdza kryterium Routha-Hurwitza

W większości zagadnień teorii sterowania stabilność oznacza, że każdy pierwiastek charakterystyczny spełnia warunek $\operatorname{Re}(s) < 0$. To ważne rozróżnienie: standardowe kryterium Routha-Hurwitza dotyczy układów czasu ciągłego w płaszczyźnie $s$, a nie układów czasu dyskretnego w płaszczyźnie $z$.

Praktyczna zaleta tej metody to szybkość. O stabilności można zdecydować wyłącznie na podstawie współczynników, co często jest łatwiejsze niż wyznaczanie dokładnych pierwiastków.

Jak zbudować tablicę Routha

Zacznij od wypisania współczynników przy malejących potęgach $s$. Pierwsze dwa wiersze tworzy się z naprzemiennie wybieranych współczynników:

$$\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}$$

Następnie oblicza się niższe wiersze na podstawie dwóch wierszy znajdujących się bezpośrednio nad nimi. Dla wielomianu trzeciego stopnia

$$p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,$$

tablica ma postać:

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}$$

Zatem dla wielomianu trzeciego stopnia z dodatnim współczynnikiem wiodącym asymptotyczna stabilność wymaga warunków

$$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.$$

Ta ostatnia nierówność jest często pomijana. Same dodatnie współczynniki nie wystarczają.

Przykład: dodatnie współczynniki, ale układ niestabilny

Rozważmy

$$p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.$$

Wszystkie współczynniki są dodatnie, więc na pierwszy rzut oka układ może wydawać się stabilny. Tablica Routha pokazuje, dlaczego taki wniosek jest błędny.

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Po uproszczeniu wiersza $s^1$ otrzymujemy

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Teraz spójrz tylko na pierwszą kolumnę:

$$1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.$$

Występują dwie zmiany znaku: z $1$ na $-6$ oraz z $-6$ na $8$. Zatem wielomian ma $2$ pierwiastki w prawej półpłaszczyźnie, co oznacza, że układ jest niestabilny.

To najważniejsza intuicja, którą warto zapamiętać: dla stopnia $3$ i wyższych dodatnie współczynniki nie gwarantują stabilności.

Typowe błędy przy stosowaniu kryterium Routha-Hurwitza

Sprawdzanie tylko współczynników

Jeśli wszystkie współczynniki są dodatnie, nie oznacza to automatycznie, że układ jest stabilny. Powyższy przykład jest dokładnie takim kontrprzykładem.

Pomijanie dziedziny, w której działa test

Standardowe kryterium Routha-Hurwitza stosuje się do wielomianów charakterystycznych układów czasu ciągłego w zmiennej $s$. Jeśli analizujesz układ czasu dyskretnego, potrzebny jest inny test.

Ignorowanie przypadków szczególnych

Zero w pierwszej kolumnie albo cały wiersz zer to przypadek szczególny, a nie zwykły moment zakończenia obliczeń. Takie sytuacje wymagają dodatkowej procedury, często z użyciem małego zaburzenia lub wielomianu pomocniczego.

Brak normalizacji wielomianu

Najbezpieczniej jest zapisać wielomian przy malejących potęgach $s$ i zadbać o dodatni współczynnik wiodący przed budową tablicy. W przeciwnym razie test znaków łatwo błędnie odczytać.

Kiedy stosuje się kryterium Routha-Hurwitza

Kryterium Routha-Hurwitza stosuje się wtedy, gdy model prowadzi do wielomianu charakterystycznego i potrzebna jest szybka odpowiedź na pytanie o stabilność.

W układach sterowania pozwala sprawdzić, czy układ zamknięty jest stabilny, bez jawnego wyznaczania biegunów. W modelach obwodów i układów mechanicznych pomaga ocenić, czy dobór parametrów prowadzi do odpowiedzi zanikających czy narastających. W projektowaniu jest przydatne do wyznaczania zakresów parametrów zapewniających stabilność układu.

Jest szczególnie pomocne wtedy, gdy dokładne wyznaczanie pierwiastków byłoby zbyt czasochłonne albo po prostu niepotrzebne.

Spróbuj podobnego testu stabilności

Wykonaj ten sam proces dla

$$p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.$$

Zbuduj pierwszą kolumnę i sprawdź, czy pojawiają się w niej zmiany znaku. Następnie porównaj wynik z warunkiem dla wielomianu trzeciego stopnia $a_1 a_2 > a_3$, aby zobaczyć, że obie metody dają ten sam wniosek.