Criterio di stabilità di Routh-Hurwitz

Il criterio di stabilità di Routh-Hurwitz permette di determinare quante radici di un polinomio caratteristico si trovano nel semipiano destro senza calcolare direttamente le radici. Nei sistemi di controllo, questo fornisce un test rapido per capire se un sistema a tempo continuo è asintoticamente stabile.

Per un polinomio a coefficienti reali

$$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,$$

con $a_n > 0$, costruisci la tabella di Routh e osserva la sua prima colonna. Dopo aver gestito eventuali casi particolari, come uno zero nella prima colonna o un'intera riga di zeri, il numero di variazioni di segno in quella prima colonna è uguale al numero di radici con parte reale positiva. Se non ci sono variazioni di segno, tutte le radici si trovano nel semipiano sinistro aperto.

Che cosa verifica il criterio di Routh-Hurwitz

Nella maggior parte dei problemi di controllo, stabilità significa che ogni radice caratteristica soddisfa $\operatorname{Re}(s) < 0$. Questa condizione è importante: il criterio classico di Routh-Hurwitz vale per sistemi a tempo continuo nel piano $s$, non per sistemi a tempo discreto nel piano $z$.

Il suo valore pratico è la rapidità. Puoi decidere la stabilità usando solo i coefficienti, cosa spesso più semplice che trovare le radici esatte.

Come costruire la tabella di Routh

Inizia elencando i coefficienti in ordine decrescente rispetto alle potenze di $s$. Le prime due righe alternano i coefficienti:

$$\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}$$

Poi calcola le righe inferiori a partire dalle due righe sopra di esse. Per un polinomio cubico,

$$p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,$$

la tabella è:

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}$$

Quindi, per un cubico con coefficiente principale positivo, la stabilità asintotica richiede

$$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.$$

Quest'ultima disuguaglianza è la parte che spesso si dimentica. Coefficienti positivi da soli non bastano.

Esempio svolto: coefficienti positivi ma sistema instabile

Considera

$$p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.$$

Tutti i coefficienti sono positivi, quindi a prima vista il sistema potrebbe sembrare stabile. La tabella di Routh mostra perché questa conclusione è sbagliata.

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Semplificando la riga $s^1$ si ottiene

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Ora guarda solo la prima colonna:

$$1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.$$

Ci sono due variazioni di segno, da $1$ a $-6$ e da $-6$ a $8$. Quindi il polinomio ha $2$ radici nel semipiano destro, il che significa che il sistema è instabile.

Questa è l'idea principale da ricordare: per grado $3$ e superiore, coefficienti positivi non garantiscono la stabilità.

Errori comuni con il criterio di Routh-Hurwitz

Controllare solo i coefficienti

Se tutti i coefficienti sono positivi, questo non significa automaticamente che il sistema sia stabile. L'esempio svolto sopra è proprio il controesempio.

Dimenticare il dominio del test

Il criterio classico di Routh-Hurwitz si applica ai polinomi caratteristici in $s$ di sistemi a tempo continuo. Se stai studiando un sistema a tempo discreto, serve un test diverso.

Ignorare i casi particolari

Uno zero nella prima colonna o un'intera riga di zeri è un caso particolare, non un normale punto di arresto. Questi casi richiedono una procedura aggiuntiva, spesso con una piccola perturbazione o un polinomio ausiliario.

Non normalizzare il polinomio

È più sicuro scrivere il polinomio in ordine decrescente rispetto alle potenze di $s$ e rendere positivo il coefficiente principale prima di costruire la tabella. Altrimenti il test dei segni può essere facilmente interpretato male.

Quando si usa il criterio di Routh-Hurwitz

Usa il criterio di Routh-Hurwitz quando un modello porta a un polinomio caratteristico e hai bisogno rapidamente di una risposta sulla stabilità.

Nei sistemi di controllo, verifica se un sistema in retroazione chiusa è stabile senza calcolare esplicitamente i poli. Nei modelli circuitali e meccanici, aiuta a capire se certe scelte dei parametri producono risposte smorzate o crescenti. Nel progetto dei sistemi, è utile per trovare gli intervalli dei parametri che mantengono il sistema stabile.

È particolarmente utile quando trovare le radici esatte sarebbe lento o non necessario.

Prova un test di stabilità simile

Prova lo stesso procedimento su

$$p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.$$

Costruisci la prima colonna e verifica se compaiono variazioni di segno. Poi confronta la tua risposta con la condizione per il cubico $a_1 a_2 > a_3$ per vedere che entrambi i metodi concordano.