Critère de stabilité de Routh-Hurwitz

Le critère de stabilité de Routh-Hurwitz permet de déterminer combien de racines d’un polynôme caractéristique se trouvent dans le demi-plan droit sans calculer directement les racines. En automatique, cela donne un test rapide pour savoir si un système en temps continu est asymptotiquement stable.

Pour un polynôme à coefficients réels

$$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,$$

avec $a_n > 0$, on construit le tableau de Routh puis on examine sa première colonne. Après avoir traité les cas particuliers, comme un zéro dans la première colonne ou une ligne entière de zéros, le nombre de changements de signe dans cette première colonne est égal au nombre de racines dont la partie réelle est positive. S’il n’y a aucun changement de signe, toutes les racines se trouvent dans le demi-plan gauche ouvert.

Ce que vérifie le critère de Routh-Hurwitz

Dans la plupart des problèmes d’automatique, la stabilité signifie que toute racine caractéristique vérifie $\operatorname{Re}(s) < 0$. Cette condition est importante : le critère classique de Routh-Hurwitz s’applique aux systèmes en temps continu dans le plan $s$, et non aux systèmes en temps discret dans le plan $z$.

Son intérêt pratique est sa rapidité. On peut décider de la stabilité à partir des seuls coefficients, ce qui est souvent plus simple que de calculer les racines exactes.

Comment construire le tableau de Routh

Commencez par écrire les coefficients selon les puissances décroissantes de $s$. Les deux premières lignes alternent les coefficients :

$$\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}$$

Ensuite, calculez les lignes inférieures à partir des deux lignes situées au-dessus. Pour un polynôme cubique,

$$p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,$$

le tableau est :

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}$$

Ainsi, pour un cubique de coefficient dominant positif, la stabilité asymptotique exige

$$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.$$

C’est cette dernière inégalité qu’on oublie souvent. Des coefficients positifs ne suffisent pas à eux seuls.

Exemple détaillé : coefficients positifs mais système instable

Considérons

$$p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.$$

Tous les coefficients sont positifs, donc le système peut sembler stable au premier regard. Le tableau de Routh montre pourquoi cette conclusion est fausse.

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

En simplifiant la ligne $s^1$, on obtient

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Regardons maintenant uniquement la première colonne :

$$1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.$$

Il y a deux changements de signe, de $1$ à $-6$ puis de $-6$ à $8$. Le polynôme possède donc $2$ racines dans le demi-plan droit, ce qui signifie que le système est instable.

C’est l’idée essentielle à retenir : à partir du degré $3$, des coefficients positifs ne garantissent pas la stabilité.

Erreurs fréquentes avec le critère de Routh-Hurwitz

Vérifier seulement les coefficients

Si tous les coefficients sont positifs, cela ne veut pas automatiquement dire que le système est stable. L’exemple détaillé ci-dessus est précisément un contre-exemple.

Oublier le domaine d’application du test

Le critère classique de Routh-Hurwitz s’applique aux polynômes caractéristiques en $s$ des systèmes en temps continu. Si vous étudiez un système en temps discret, il faut utiliser un autre test.

Ignorer les cas particuliers

Un zéro dans la première colonne ou une ligne entière de zéros est un cas particulier, pas un point d’arrêt normal. Ces situations demandent une procédure supplémentaire, souvent avec une petite perturbation ou un polynôme auxiliaire.

Ne pas normaliser le polynôme

Il est plus sûr d’écrire le polynôme selon les puissances décroissantes de $s$ et de rendre positif le coefficient dominant avant de construire le tableau. Sinon, le test de signe peut être facile à mal interpréter.

Quand utilise-t-on le critère de Routh-Hurwitz ?

Utilisez le critère de Routh-Hurwitz lorsqu’un modèle conduit à un polynôme caractéristique et que vous avez besoin d’une réponse rapide sur la stabilité.

En automatique, il permet de vérifier si un système en boucle fermée est stable sans calculer explicitement les pôles. Dans les modèles électriques et mécaniques, il aide à tester si certains choix de paramètres conduisent à des réponses amorties ou croissantes. En conception, il est utile pour trouver les plages de paramètres qui maintiennent un système stable.

Il est particulièrement utile lorsque calculer les racines exactes serait trop long ou inutile.

Essayez un test de stabilité similaire

Appliquez le même procédé à

$$p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.$$

Construisez la première colonne et vérifiez si des changements de signe apparaissent. Comparez ensuite votre réponse avec la condition cubique $a_1 a_2 > a_3$ pour voir que les deux méthodes donnent le même résultat.