เกณฑ์เสถียรภาพของ Routh-Hurwitz

เกณฑ์เสถียรภาพของ Routh-Hurwitz ใช้บอกได้ว่ารากของพหุนามลักษณะเฉพาะมีกี่รากที่อยู่ในครึ่งระนาบขวา โดยไม่ต้องแก้หารากโดยตรง ในระบบควบคุม สิ่งนี้ช่วยทดสอบได้อย่างรวดเร็วว่าระบบเวลาต่อเนื่องมีเสถียรภาพเชิงเส้นกำกับหรือไม่

สำหรับพหุนามสัมประสิทธิ์จริง

$$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,$$

เมื่อ $a_n > 0$ ให้สร้างตาราง Routh แล้วพิจารณาคอลัมน์แรก หลังจากจัดการกรณีพิเศษ เช่น มีศูนย์ในคอลัมน์แรก หรือมีทั้งแถวเป็นศูนย์แล้ว จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรกจะเท่ากับจำนวนรากที่มีส่วนจริงเป็นบวก ถ้าไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมายเลย รากทั้งหมดจะอยู่ในครึ่งระนาบซ้ายแบบเปิด

เกณฑ์ Routh-Hurwitz ตรวจสอบอะไร

ในโจทย์ระบบควบคุมส่วนใหญ่ คำว่าเสถียรภาพหมายถึงรากลักษณะเฉพาะทุกตัวต้องเป็นไปตาม $\operatorname{Re}(s) < 0$ เงื่อนไขนี้สำคัญ เพราะเกณฑ์ Routh-Hurwitz แบบมาตรฐานใช้กับระบบเวลาต่อเนื่องในระนาบ $s$ ไม่ใช่ระบบเวลาไม่ต่อเนื่องในระนาบ $z$

ข้อดีในทางปฏิบัติคือความรวดเร็ว คุณสามารถตัดสินเสถียรภาพได้จากสัมประสิทธิ์เพียงอย่างเดียว ซึ่งมักง่ายกว่าการหารากที่แน่นอน

วิธีสร้างตาราง Routh

เริ่มจากเขียนสัมประสิทธิ์ตามกำลังของ $s$ จากมากไปน้อย สองแถวแรกจะวางสัมประสิทธิ์แบบสลับกันดังนี้

$$\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}$$

จากนั้นคำนวณแถวล่างต่อไปโดยใช้สองแถวที่อยู่เหนือมัน สำหรับพหุนามกำลังสาม

$$p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,$$

ตารางจะเป็น

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}$$

ดังนั้น สำหรับพหุนามกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์หน้าพจน์กำลังสูงสุดเป็นบวก การมีเสถียรภาพเชิงเส้นกำกับต้องเป็นไปตามเงื่อนไข

$$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.$$

อสมการสุดท้ายนี่เองที่หลายคนมักมองข้าม การที่สัมประสิทธิ์เป็นบวกทั้งหมดอย่างเดียวยังไม่เพียงพอ

ตัวอย่างคำนวณ: สัมประสิทธิ์เป็นบวกแต่ไม่เสถียร

พิจารณา

$$p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.$$

สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นบวก จึงอาจดูเหมือนเสถียรในตอนแรก แต่ตาราง Routh แสดงให้เห็นว่าข้อสรุปนั้นไม่ถูกต้อง

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

เมื่อจัดรูปแถว $s^1$ จะได้

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

ตอนนี้ให้ดูเฉพาะคอลัมน์แรก

$$1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.$$

มีการเปลี่ยนเครื่องหมายสองครั้ง คือจาก $1$ ไป $-6$ และจาก $-6$ ไป $8$ ดังนั้นพหุนามนี้มีราก $2$ รากอยู่ในครึ่งระนาบขวา ซึ่งหมายความว่าระบบไม่เสถียร

แนวคิดสำคัญที่ควรจำคือ สำหรับพหุนามดีกรี $3$ ขึ้นไป การที่สัมประสิทธิ์เป็นบวกไม่ได้รับประกันว่าเสถียร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับเกณฑ์ Routh-Hurwitz

ตรวจแค่สัมประสิทธิ์

ถ้าสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นบวก ก็ไม่ได้แปลว่าระบบเสถียรโดยอัตโนมัติ ตัวอย่างที่คำนวณข้างต้นเป็นตัวอย่างโต้แย้งโดยตรง

ลืมขอบเขตการใช้งานของการทดสอบ

เกณฑ์ Routh-Hurwitz แบบทั่วไปใช้กับพหุนามลักษณะเฉพาะของระบบเวลาต่อเนื่องในตัวแปร $s$ ถ้าคุณกำลังศึกษาระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง คุณต้องใช้การทดสอบแบบอื่น

มองข้ามกรณีพิเศษ

การมีศูนย์ในคอลัมน์แรก หรือมีทั้งแถวเป็นศูนย์ เป็นกรณีพิเศษ ไม่ใช่จุดที่หยุดทำต่อได้ตามปกติ กรณีเหล่านี้ต้องใช้ขั้นตอนเพิ่มเติม ซึ่งมักเกี่ยวข้องกับการรบกวนขนาดเล็กหรือพหุนามช่วย

ไม่ทำให้พหุนามอยู่ในรูปมาตรฐาน

วิธีที่ปลอดภัยที่สุดคือเขียนพหุนามตามกำลังของ $s$ จากมากไปน้อย และทำให้สัมประสิทธิ์หน้าพจน์กำลังสูงสุดเป็นบวกก่อนสร้างตาราง มิฉะนั้นการอ่านผลจากเครื่องหมายอาจผิดพลาดได้ง่าย

เกณฑ์ Routh-Hurwitz ใช้เมื่อใด

ใช้เกณฑ์ Routh-Hurwitz เมื่อแบบจำลองนำไปสู่พหุนามลักษณะเฉพาะ และคุณต้องการคำตอบเรื่องเสถียรภาพอย่างรวดเร็ว

ในระบบควบคุม มันใช้ตรวจว่าระบบวงปิดเสถียรหรือไม่โดยไม่ต้องคำนวณโพลอย่างชัดเจน ในแบบจำลองวงจรและเชิงกล มันช่วยทดสอบว่าการเลือกค่าพารามิเตอร์ทำให้การตอบสนองลดลงหรือเติบโตขึ้น ในงานออกแบบ มันมีประโยชน์สำหรับหาช่วงของพารามิเตอร์ที่ทำให้ระบบยังคงเสถียร

เกณฑ์นี้มีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อการหารากที่แน่นอนทำได้ช้าหรือไม่จำเป็น

ลองทดสอบเสถียรภาพแบบเดียวกัน

ลองใช้กระบวนการเดียวกันกับ

$$p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.$$

สร้างคอลัมน์แรกแล้วตรวจว่ามีการเปลี่ยนเครื่องหมายหรือไม่ จากนั้นเปรียบเทียบคำตอบของคุณกับเงื่อนไขสำหรับพหุนามกำลังสาม $a_1 a_2 > a_3$ เพื่อดูว่าทั้งสองวิธีให้ผลสอดคล้องกัน