Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri

Routh-Hurwitz kararlılık kriteri, karakteristik bir polinomun köklerini doğrudan çözmeden, bu köklerden kaç tanesinin sağ yarı düzlemde bulunduğunu söyler. Kontrol sistemlerinde bu, sürekli zamanlı bir sistemin asimptotik olarak kararlı olup olmadığını hızlıca test etmeyi sağlar.

Gerçek katsayılı bir polinom için

$$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,$$

ve $a_n > 0$ iken, Routh tablosunu oluşturup ilk sütununu inceleyin. İlk sütunda sıfır bulunması ya da bir satırın tamamen sıfırlardan oluşması gibi özel durumlar ele alındıktan sonra, bu ilk sütundaki işaret değişimlerinin sayısı, gerçek kısmı pozitif olan köklerin sayısına eşittir. Eğer işaret değişimi yoksa, tüm kökler açık sol yarı düzlemde yer alır.

Routh-Hurwitz kriteri neyi kontrol eder?

Çoğu kontrol probleminde kararlılık, her karakteristik kökün $\operatorname{Re}(s) < 0$ koşulunu sağlaması anlamına gelir. Bu koşul önemlidir: standart Routh-Hurwitz kriteri, $z$-düzlemindeki ayrık zamanlı sistemler için değil, $s$-düzlemindeki sürekli zamanlı sistemler içindir.

Pratik değeri hızında yatar. Kararlılığı yalnızca katsayılardan belirleyebilirsiniz; bu da çoğu zaman tam kökleri bulmaktan daha kolaydır.

Routh tablosu nasıl oluşturulur?

Önce katsayıları $s$'nin azalan kuvvetlerine göre yazın. İlk iki satırda katsayılar dönüşümlü olarak yerleştirilir:

$$\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}$$

Daha sonra alt satırları, üstlerindeki iki satırdan hesaplayın. Kübik bir polinom için,

$$p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,$$

tablo şöyledir:

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}$$

Dolayısıyla, baş katsayısı pozitif olan bir kübik polinom için asimptotik kararlılık şu koşulları gerektirir:

$$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.$$

İnsanların sıkça gözden kaçırdığı kısım bu son eşitsizliktir. Yalnızca katsayıların pozitif olması yeterli değildir.

Çözümlü örnek: katsayılar pozitif ama sistem kararsız

Şunu ele alalım:

$$p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.$$

Tüm katsayılar pozitiftir; bu yüzden ilk bakışta kararlı görünebilir. Routh tablosu bu sonucun neden yanlış olduğunu gösterir.

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

$s^1$ satırını sadeleştirince elde ederiz:

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Şimdi yalnızca ilk sütuna bakın:

$$1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.$$

İki işaret değişimi vardır: $1$'den $-6$'ya ve $-6$'dan $8$'e. Dolayısıyla polinomun sağ yarı düzlemde $2$ kökü vardır; bu da sistemin kararsız olduğu anlamına gelir.

Burada akılda tutulması gereken temel fikir şudur: derece $3$ ve daha yüksek olduğunda, katsayıların pozitif olması kararlılığı garanti etmez.

Routh-Hurwitz kriterinde yaygın hatalar

Yalnızca katsayılara bakmak

Tüm katsayılar pozitifse, bu otomatik olarak sistemin kararlı olduğu anlamına gelmez. Yukarıdaki çözümlü örnek bunun tam bir karşı örneğidir.

Testin uygulandığı bölgeyi unutmak

Standart Routh-Hurwitz kriteri, $s$ cinsinden yazılmış sürekli zamanlı karakteristik polinomlara uygulanır. Eğer ayrık zamanlı bir sistemi inceliyorsanız, farklı bir teste ihtiyacınız vardır.

Özel durumları göz ardı etmek

İlk sütunda sıfır bulunması ya da bir satırın tamamen sıfırlardan oluşması özel bir durumdur; normal bir durma noktası değildir. Bu durumlar ek bir işlem gerektirir; çoğu zaman küçük bir pertürbasyon veya yardımcı bir polinom kullanılır.

Polinomu normalize etmemek

Tabloyu oluşturmadan önce polinomu $s$'nin azalan kuvvetlerine göre yazmak ve baş katsayıyı pozitif yapmak en güvenli yaklaşımdır. Aksi halde işaret testi kolayca yanlış yorumlanabilir.

Routh-Hurwitz kriteri ne zaman kullanılır?

Bir model karakteristik bir polinoma yol açıyorsa ve kararlılık hakkında hızlı bir sonuca ihtiyacınız varsa, Routh-Hurwitz kriterini kullanın.

Kontrol sistemlerinde, kapalı çevrim bir sistemin kutuplarını açıkça hesaplamadan kararlı olup olmadığını kontrol eder. Devre ve mekanik modellerde, parametre seçimlerinin sönümlenen mi yoksa büyüyen mi tepkilere yol açtığını test etmeye yardımcı olur. Tasarım çalışmalarında ise sistemi kararlı tutan parametre aralıklarını bulmak için kullanışlıdır.

Özellikle tam kökleri bulmanın yavaş ya da gereksiz olduğu durumlarda çok faydalıdır.

Benzer bir kararlılık testi deneyin

Aynı süreci şu polinom için deneyin:

$$p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.$$

İlk sütunu oluşturun ve herhangi bir işaret değişimi olup olmadığını kontrol edin. Ardından cevabınızı, iki yöntemin de aynı sonucu verdiğini görmek için kübik koşul $a_1 a_2 > a_3$ ile karşılaştırın.