Sayı Sistemleri - İkilik, Sekizlik, Onaltılık

İkilik, sekizlik ve onaltılık sayı sistemlerinin hepsi basamak değerine dayalı sistemlerdir. Aralarındaki fark tabandır. İkilik taban $2$, sekizlik taban $8$ ve onaltılık taban $16$ kullanır. Bu fikir oturduğunda, semboller gizemli görünmeyi bırakır.

Herhangi bir konumsal sayı sisteminde her basamak, tabanın bir kuvvetidir. Taban $10$’da basamaklar $1$, $10$, $100$ diye gider. Taban $2$’de ise $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ diye devam eder. Aynı kural her taban için geçerlidir.

Her Sayı Sisteminde Hangi Semboller Kullanılır?

İkilik sistem yalnızca $0$ ve $1$ rakamlarını kullanır.

Sekizlik sistem $0$ ile $7$ arasındaki rakamları kullanır.

Onaltılık sistem $16$ sembol kullanır: $0$ ile $9$, ardından $10$ ile $15$ değerleri için $A$ ile $F$.

Bu, bir onaltılık basamağın bir ikilik basamaktan daha fazla bilgi taşıyabildiği anlamına gelir. Çünkü bir onaltılık basamak $2$’nin değil, $16$’nın kuvvetleriyle sayar.

Temel Sezgi

Bir sayı, onu farklı bir tabanda yazdığınız için değer değiştirmez. Değişen yalnızca gösterimidir.

Örneğin taban-$10$ sayısı olan $45$, onu ikilik, sekizlik ya da onaltılık yazsanız da aynı niceliktir. Farklı tabanlar, aynı miktarı anlatan farklı diller gibidir.

Güçlü Bir Örnek: $45$ Sayısını İkilik, Sekizlik ve Onaltılık Yazalım

Taban $10$ ile başlayalım.

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

Bunlar $2$’nin kuvvetleridir:

$$32 = 2^5,\quad 8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 1 = 2^0$$

Bu yüzden ikilik gösterimde $2^5$, $2^3$, $2^2$ ve $2^0$ basamaklarında $1$ bulunur:

$$45_{10} = 101101_2$$

Şimdi sekizlik gösterimi bulmak için ikilik biçimi kullanalım. $8 = 2^3$ olduğundan, ikilik basamakları sağdan başlayarak $3$’lü gruplara ayırın:

$$101101_2 = 101\ 101_2$$

Her grup bir sekizlik basamağa dönüşür:

$$101_2 = 5,\quad 101_2 = 5$$

Dolayısıyla

$$45_{10} = 55_8$$

Şimdi onaltılık gösterimi bulalım. $16 = 2^4$ olduğundan, ikilik basamakları sağdan başlayarak $4$’lü gruplara ayırın. Gerekirse başa sıfır ekleyin:

$$101101_2 = 0010\ 1101_2$$

Sonra her grubu dönüştürün:

$$0010_2 = 2,\quad 1101_2 = 13 = D$$

Dolayısıyla

$$45_{10} = 2D_{16}$$

Bu üç gösterimin hepsi aynı niceliği ifade eder:

$$45_{10} = 101101_2 = 55_8 = 2D_{16}$$

Yaygın Hatalar

Yaygın hatalardan biri, tabanın basamak değerlerini değiştirdiğini unutmaktır. $101$ dizisi taban $2$, taban $8$ ve taban $10$’da aynı anlama gelmez.

Bir başka hata da tabanın izin vermediği rakamları kullanmaktır. Örneğin ikilik bir sayıda $2$ bulunamaz, sekizlik bir sayıda da $8$ bulunamaz.

Öğrenciler ayrıca sekizliğe veya onaltılığa çevirirken ikilik basamakları sık sık yanlış gruplar. Sağdan gruplayın ve tam bir grup elde etmek için gerekirse başa sıfır ekleyin.

Bu Sayı Sistemleri Ne Zaman Kullanılır?

İkilik, anahtarların doğal olarak iki duruma sahip olması nedeniyle dijital sistemlerin temel dilidir. Sekizlik ve onaltılık ise uzun ikilik dizilerini yazmanın daha kısa yollarıdır.

Bu matematik fikrini anlamak için bilgisayar bilimi bilmeniz gerekmez. Bu sistemler yine de değerlidir çünkü tüm konumsal gösterimin temel kuralını öğretir: değer, tabana ve basamağa bağlıdır.

Benzer Bir Dönüşüm Deneyin

$58_{10}$ sayısını ikilik, sekizlik ve onaltılık biçimlere çevirmeyi deneyin. Önce onu $2$’nin kuvvetlerinin toplamı olarak yazın, sonra diğer iki biçimi bulmak için ikilik basamakları gruplayın.