反三角函数——公式与图像

反三角函数的作用，是由一个三角函数值返回一个角。实际使用中，$\arcsin x$、$\arccos x$ 和 $\arctan x$ 各自只返回一个标准角，叫作主值，而不是所有满足条件的角。

这种限制非常关键。正弦、余弦和正切在完整图像上都会重复取值，所以只有把它们限制在某些区间内，使每个输出都只对应一个角时，它们才有反函数。

$\arcsin x$、$\arccos x$ 和 $\arctan x$ 的含义

下面这些定义同时说明了三角关系和允许的输出范围：

$$\arcsin x = y \quad \text{means} \quad \sin y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{means} \quad \cos y = x \text{ and } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{means} \quad \tan y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

这些区间条件并不是附加细节，而是保证反函数只有一个取值的关键。

你真正需要掌握的定义域和值域

对于学生最常用的三个反三角函数：

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

每一行都要先看输入，再看输出。比如，$\arcsin x$ 只接受 $-1 \le x \le 1$，因为正弦函数的输出不可能超出这个区间。

反三角函数的图像是怎么来的

反三角函数的图像，本质上是关于直线 $y = x$ 的对称图像，但前提是原来的三角函数已经被限制在一个一一对应的区间上。

例如，$y = \arcsin x$ 就是下面这段受限正弦图像

$$y = \sin x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

关于直线 $y = x$ 的对称图像。

同样的思路也适用于下面这些对应关系：

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{for} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

不要把完整的、周期重复的正弦、余弦或正切图像直接拿去对称。完整图像不满足水平线检验，因此不能作为反函数的图像来源。

一个带主值范围的例题

计算

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

我们要找角 $y$，使得 $\cos y = -\frac{1}{2}$。满足条件的角有很多，但 $\arccos x$ 必须返回主值范围内的那个角：

$$0 \le y \le \pi$$

在这个区间内，正确的角是 $y = \frac{2\pi}{3}$，所以

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

这里最重要的习惯就是：不要去找任意一个满足条件的角，而要找落在正确范围内的那个角。

反三角函数中的常见错误

最常见的错误，是把反三角函数和倒数三角函数混淆。$\arcsin x$ 不等于 $\csc x$，而 $\sin^{-1} x$ 通常表示反正弦，不是 $1/\sin x$。

另一个常见错误，是忽略主值范围。比如，$\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$，但是

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

因为 $\frac{\pi}{6}$ 才是 $\arcsin x$ 允许范围内的那个角。

学生有时也会忘记检查定义域。像 $\arcsin 2$ 和 $\arccos(-3)$ 这样的式子在实数范围内没有意义，因为正弦和余弦的输出不可能超出 $[-1,1]$。

反三角函数在什么时候会用到

只要你已知一个比值，想反过来求角，就会用到反三角函数。这在直角三角形几何、导航、斜率与方向问题、向量分量以及基于三角形的建模中都很常见。

它们在微积分里也很重要。你会在导数、原函数（例如 $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$）以及含三角表达式的换元中看到它们。

一个 2 步理解法

在计算反三角函数表达式时，做这两个检查：

1. 已知的这个值对应的是哪个三角函数？
2. 在这个函数的主值范围内，对应的角是多少？

把这两个检查放在一起考虑，公式和图像就会容易理解得多。

自己试一试

试着计算 $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 和 $\arctan(1)$。如果你先确定主值范围，这两个答案都会很快得到。