Funzioni trigonometriche inverse — Formule e grafici

Le funzioni trigonometriche inverse restituiscono un angolo a partire da un valore trigonometrico. In pratica, $\arcsin x$, $\arccos x$ e $\arctan x$ restituiscono ciascuna un solo angolo standard, chiamato valore principale, non tutti gli angoli possibili.

Questa restrizione è essenziale. Seno, coseno e tangente ripetono i valori nei loro grafici completi, quindi hanno un'inversa solo dopo essere stati limitati a intervalli in cui ogni output proviene da un solo angolo.

Cosa significano $\arcsin x$, $\arccos x$ e $\arctan x$

Queste definizioni mostrano sia la relazione trigonometrica sia l'intervallo di output ammesso:

$$\arcsin x = y \quad \text{significa} \quad \sin y = x \text{ e } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{significa} \quad \cos y = x \text{ e } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{significa} \quad \tan y = x \text{ e } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Queste condizioni sugli intervalli non sono un dettaglio in più. Sono ciò che rende l'inversa a valore unico.

Domini e codomini che ti servono davvero

Per le tre funzioni trigonometriche inverse che gli studenti usano più spesso:

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Leggi ogni riga così: prima l'input, poi l'output. Per esempio, $\arcsin x$ accetta solo $-1 \le x \le 1$ perché il seno non produce mai un valore fuori da quell'intervallo.

Come funzionano i grafici delle inverse trigonometriche

I grafici delle funzioni trigonometriche inverse sono riflessioni rispetto alla retta $y = x$, ma solo dopo che la funzione trigonometrica originale è stata ristretta a un intervallo biunivoco.

Per esempio, $y = \arcsin x$ è la riflessione del grafico ristretto del seno

$$y = \sin x \quad \text{per} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

rispetto alla retta $y = x$.

La stessa idea dà queste coppie corrispondenti:

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{per} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{per} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Non riflettere il grafico completo e periodico di seno, coseno o tangente. Il grafico completo non supera il test della retta orizzontale, quindi non può avere una funzione inversa.

Un esempio svolto con l'intervallo principale

Calcola

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Cerchiamo l'angolo $y$ tale che $\cos y = -\frac{1}{2}$. Molti angoli vanno bene, ma $\arccos x$ deve restituire l'angolo nell'intervallo principale

$$0 \le y \le \pi$$

Dentro questo intervallo, l'angolo corretto è $y = \frac{2\pi}{3}$, quindi

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

Questa è l'abitudine principale da sviluppare: non chiederti quale angolo qualsiasi funzioni. Chiediti quale angolo appartiene all'intervallo corretto.

Errori comuni con le inverse trigonometriche

L'errore più comune è confondere le funzioni trigonometriche inverse con le funzioni trigonometriche reciproche. $\arcsin x$ non è la stessa cosa di $\csc x$, e $\sin^{-1} x$ di solito significa seno inverso, non $1/\sin x$.

Un altro errore comune è ignorare l'intervallo principale. Per esempio, $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, ma

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

perché $\frac{\pi}{6}$ è l'angolo che appartiene all'intervallo ammesso per $\arcsin x$.

A volte gli studenti dimenticano anche il dominio. Espressioni come $\arcsin 2$ e $\arccos(-3)$ non hanno valori reali perché seno e coseno non producono output fuori da $[-1,1]$.

Quando si usano le funzioni trigonometriche inverse

Le funzioni trigonometriche inverse compaiono ogni volta che conosci un rapporto e devi risalire all'angolo. Succede nella geometria dei triangoli rettangoli, nella navigazione, nei problemi di pendenza e direzione, nelle componenti dei vettori e nella modellizzazione basata sui triangoli.

Sono importanti anche in analisi matematica. Le trovi nelle derivate, nelle primitive come $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$ e nelle sostituzioni che coinvolgono espressioni trigonometriche.

Un modo in 2 passaggi per pensarci

Quando valuti un'espressione con una funzione trigonometrica inversa, fai questi due controlli:

1. Quale funzione trigonometrica corrisponde al valore che mi è stato dato?
2. Qual è l'angolo nell'intervallo principale di quella funzione?

Se tieni insieme questi due controlli, formule e grafici diventano molto più facili da leggere.

Prova una tua versione

Prova a calcolare $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ e $\arctan(1)$. Se scegli prima l'intervallo principale, entrambe le risposte arrivano rapidamente.