Umkehrfunktionen der Trigonometrie — Formeln & Graphen

Umkehrfunktionen der Trigonometrie liefern aus einem trigonometrischen Wert einen Winkel zurück. In der Praxis geben $\arcsin x$, $\arccos x$ und $\arctan x$ jeweils genau einen Standardwinkel zurück, den sogenannten Hauptwert, und nicht alle möglichen Winkel.

Diese Einschränkung ist entscheidend. Sinus, Kosinus und Tangens wiederholen auf ihren vollständigen Graphen Werte, deshalb besitzen sie erst dann Umkehrfunktionen, wenn wir sie auf Intervalle beschränken, in denen jeder Ausgabewert genau von einem Winkel stammt.

Was $\arcsin x$, $\arccos x$ und $\arctan x$ bedeuten

Diese Definitionen zeigen sowohl die trigonometrische Beziehung als auch den erlaubten Ausgabebereich:

$$\arcsin x = y \quad \text{bedeutet} \quad \sin y = x \text{ und } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{bedeutet} \quad \cos y = x \text{ und } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{bedeutet} \quad \tan y = x \text{ und } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Diese Intervallbedingungen sind kein nebensächliches Detail. Sie sorgen erst dafür, dass die Umkehrfunktion eindeutig ist.

Die Definitions- und Wertebereiche, die du wirklich brauchst

Für die drei Umkehrfunktionen der Trigonometrie, die Schülerinnen und Schüler am häufigsten verwenden:

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Lies jede Zeile zuerst als Eingabe, dann als Ausgabe. Zum Beispiel akzeptiert $\arcsin x$ nur $-1 \le x \le 1$, weil der Sinus niemals einen Wert außerhalb dieses Intervalls annimmt.

Wie die Graphen der Umkehrfunktionen der Trigonometrie funktionieren

Die Graphen der Umkehrfunktionen der Trigonometrie sind Spiegelungen an der Geraden $y = x$, aber erst nachdem die ursprüngliche trigonometrische Funktion auf ein injektives Intervall eingeschränkt wurde.

Zum Beispiel ist $y = \arcsin x$ die Spiegelung des eingeschränkten Sinusgraphen

$$y = \sin x \quad \text{für} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

an der Geraden $y = x$.

Dieselbe Idee liefert diese zusammengehörigen Paare:

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{für} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{für} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Spiegle nicht den vollständigen periodischen Graphen von Sinus, Kosinus oder Tangens. Der vollständige Graph besteht den Horizontalen-Linien-Test nicht und kann daher keine Umkehrfunktion haben.

Ein durchgerechnetes Beispiel mit Hauptwertebereich

Berechne

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Gesucht ist der Winkel $y$ mit $\cos y = -\frac{1}{2}$. Viele Winkel erfüllen das, aber $\arccos x$ muss den Winkel im Hauptwertebereich zurückgeben

$$0 \le y \le \pi$$

In diesem Intervall ist der richtige Winkel $y = \frac{2\pi}{3}$, also

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

Das ist die wichtigste Gewohnheit: Frage nicht nach irgendeinem passenden Winkel. Frage nach dem Winkel im richtigen Bereich.

Häufige Fehler bei Umkehrfunktionen der Trigonometrie

Der häufigste Fehler ist, Umkehrfunktionen der Trigonometrie mit Kehrwertfunktionen zu verwechseln. $\arcsin x$ ist nicht dasselbe wie $\csc x$, und $\sin^{-1} x$ bedeutet meist Umkehrsinus, nicht $1/\sin x$.

Ein weiterer häufiger Fehler ist, den Hauptwertebereich zu ignorieren. Zum Beispiel gilt zwar $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, aber

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

weil $\frac{\pi}{6}$ der Winkel im erlaubten Bereich von $\arcsin x$ ist.

Manchmal wird auch der Definitionsbereich vergessen. Ausdrücke wie $\arcsin 2$ und $\arccos(-3)$ haben keine reellen Werte, weil Sinus und Kosinus keine Ausgaben außerhalb von $[-1,1]$ liefern.

Wann Umkehrfunktionen der Trigonometrie verwendet werden

Umkehrfunktionen der Trigonometrie tauchen immer dann auf, wenn ein Verhältnis bekannt ist und der zugehörige Winkel gesucht wird. Das passiert in der Geometrie rechtwinkliger Dreiecke, in Navigation, bei Steigungs- und Richtungsproblemen, bei Vektorkomponenten und in Modellierungen mit Dreiecken.

Sie sind auch in der Analysis wichtig. Man begegnet ihnen bei Ableitungen, bei Stammfunktionen wie $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$ und bei Substitutionen mit trigonometrischen Ausdrücken.

Eine Denkweise in 2 Schritten

Wenn du einen Ausdruck mit einer Umkehrfunktion der Trigonometrie auswertest, prüfe diese zwei Punkte:

1. Welche trigonometrische Funktion passt zu dem gegebenen Wert?
2. Welcher Winkel liegt im Hauptwertebereich dieser Funktion?

Wenn du diese beiden Prüfungen zusammen im Blick behältst, werden die Formeln und Graphen viel leichter verständlich.

Probiere deine eigene Version

Versuche, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ und $\arctan(1)$ zu berechnen. Wenn du zuerst den Hauptwertebereich festlegst, ergeben sich beide Antworten schnell.