Fonctions trigonométriques réciproques — Formules et graphes

Les fonctions trigonométriques réciproques renvoient un angle à partir d’une valeur trigonométrique. En pratique, $\arcsin x$, $\arccos x$ et $\arctan x$ renvoient chacune un seul angle standard, appelé valeur principale, et non tous les angles possibles.

Cette restriction est essentielle. Le sinus, le cosinus et la tangente répètent leurs valeurs sur leurs graphes complets, donc ils n’admettent une réciproque qu’après avoir été limités à des intervalles où chaque sortie provient d’un seul angle.

Ce que signifient $\arcsin x$, $\arccos x$ et $\arctan x$

Ces définitions montrent à la fois la relation trigonométrique et l’intervalle de sortie autorisé :

$$\arcsin x = y \quad \text{means} \quad \sin y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{means} \quad \cos y = x \text{ and } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{means} \quad \tan y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Ces conditions sur les intervalles ne sont pas un détail supplémentaire. C’est elles qui rendent la réciproque univoque.

Domaines et images à vraiment connaître

Pour les trois fonctions trigonométriques réciproques les plus utilisées par les élèves :

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Lisez chaque ligne en pensant d’abord à l’entrée, puis à la sortie. Par exemple, $\arcsin x$ n’accepte que $-1 \le x \le 1$ parce que le sinus ne prend jamais de valeur en dehors de cet intervalle.

Comment fonctionnent les graphes des fonctions trigonométriques réciproques

Les graphes des fonctions trigonométriques réciproques sont les symétriques par rapport à la droite $y = x$, mais seulement après avoir restreint la fonction trigonométrique d’origine à un intervalle où elle est injective.

Par exemple, $y = \arcsin x$ est le symétrique du graphe du sinus restreint

$$y = \sin x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

par rapport à la droite $y = x$.

La même idée donne les paires correspondantes suivantes :

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{for} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Ne faites pas la symétrie du graphe complet et périodique du sinus, du cosinus ou de la tangente. Le graphe complet ne passe pas le test de la droite horizontale, donc il ne peut pas avoir de fonction réciproque.

Un exemple résolu avec l’image principale

Évaluer

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

On cherche l’angle $y$ tel que $\cos y = -\frac{1}{2}$. Plusieurs angles conviennent, mais $\arccos x$ doit renvoyer l’angle situé dans l’image principale

$$0 \le y \le \pi$$

Dans cet intervalle, l’angle correct est $y = \frac{2\pi}{3}$, donc

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

C’est l’habitude essentielle à prendre : ne cherchez pas n’importe quel angle qui convient. Cherchez l’angle dans le bon intervalle.

Erreurs fréquentes avec les fonctions trigonométriques réciproques

L’erreur la plus fréquente consiste à confondre fonction trigonométrique réciproque et fonction trigonométrique réciproque multiplicative. $\arcsin x$ n’est pas la même chose que $\csc x$, et $\sin^{-1} x$ signifie généralement sinus réciproque, pas $1/\sin x$.

Une autre erreur fréquente est d’ignorer l’image principale. Par exemple, $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, mais

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

parce que $\frac{\pi}{6}$ est l’angle situé dans l’intervalle autorisé pour $\arcsin x$.

Les élèves oublient aussi parfois le domaine. Des expressions comme $\arcsin 2$ et $\arccos(-3)$ n’ont pas de valeur réelle, car le sinus et le cosinus ne prennent pas de valeurs en dehors de $[-1,1]$.

Quand utilise-t-on les fonctions trigonométriques réciproques ?

Les fonctions trigonométriques réciproques apparaissent chaque fois qu’on connaît un rapport et qu’on veut retrouver l’angle. Cela arrive en géométrie du triangle rectangle, en navigation, dans les problèmes de pente et de direction, avec les composantes de vecteurs et dans les modélisations basées sur les triangles.

Elles sont aussi importantes en calcul différentiel et intégral. On les rencontre dans les dérivées, les primitives comme $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$, et les changements de variable faisant intervenir des expressions trigonométriques.

Une façon simple de les comprendre en 2 étapes

Quand vous évaluez une expression trigonométrique réciproque, faites ces deux vérifications :

1. Quelle fonction trigonométrique correspond à la valeur donnée ?
2. Quel est l’angle dans l’image principale de cette fonction ?

Si vous gardez ces deux vérifications ensemble, les formules et les graphes deviennent beaucoup plus faciles à lire.

Essayez vous-même

Essayez d’évaluer $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ et $\arctan(1)$. Si vous choisissez d’abord l’image principale, les deux réponses viennent rapidement.