距離の公式 — 2次元・3次元の2点間の距離

距離の公式は、座標平面上または3次元空間内の2点の間の直線距離を求める公式です。2次元で点 $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ に対しては、

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

3次元で点 $(x_1, y_1, z_1)$ と $(x_2, y_2, z_2)$ に対しては、

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

この公式は、水平方向や垂直方向の変化だけでなく、2点間の実際の長さを求めたいときに使います。各軸が同じ単位尺度を使う標準的なデカルト座標で成り立ちます。

2次元の距離の公式：何を表しているか

この公式は、互いに垂直な2つの変化を組み合わせています。つまり、$x$ 方向にどれだけ動くかと、$y$ 方向にどれだけ動くかです。これらの変化は直角三角形の2辺になり、2点間の距離は斜辺になります。

距離の公式が成り立つ理由

平面上では、距離の公式はそのまま三平方の定理から導かれます。もし

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

かつ

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

なら、

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

したがって、

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

となります。つまり、この公式は別に暗記すべき独立したルールではありません。三平方の定理を座標の形で書いたものです。

3次元では、これにもう1つ垂直な変化を加えます。

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

考え方は同じで、それをもう1次元に拡張しただけです。

例題：2点間の距離

$(1, 2)$ と $(5, 7)$ の間の距離を求めます。

まず、2次元の距離の公式を書きます。

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

座標を代入すると、

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

差を簡単にすると、

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

2乗して足すと、

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

したがって、正確な距離は $\sqrt{41}$ です。小数で表すと、$d \approx 6.4$ です。

簡単な確認も役立ちます。この2点は水平方向に $4$、垂直方向に $5$ だけ離れているので、直線距離は $5$ より大きく、$9$ より小さいはずです。$\sqrt{41}$ はその条件に合っています。

3次元の距離の公式

考え方は同じですが、今度は $z$ の変化も含めます。

たとえば、$(1, 2, 3)$ と $(5, 7, 6)$ の間では、各座標の変化は $4$、$5$、$3$ なので、

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

となります。方法は変わりません。対応する座標を引き、差を2乗し、それらを足して、正の平方根をとります。

距離の公式でよくあるミス

1. 引く前に2乗してしまう。公式は $(x_2 - x_1)^2$ であり、$x_2^2 - x_1^2$ ではありません。
2. 平方根を忘れる。2乗したものを足したところで止めると、求まっているのは $d^2$ であって $d$ ではありません。
3. 軸を取り違える。$x$ 座標はもう一方の $x$ 座標と対応させる必要があり、$y$ や $z$ も同様です。
4. 代入するときに負号を落とす。たとえば、$-1 - 3 = -4$ であって、$4$ ではありません。
5. グラフが標準的なデカルト距離でないのに公式を使う。軸の目盛りが異なると、図形としての距離は変わります。

距離の公式を使う場面

座標幾何で2点が与えられ、その間の線分の長さを求める問題では、距離の公式を使います。

よくある場面としては、グラフ上で辺の長さを求める、点が円周上にあるかを確かめる、中心からの距離を比べる、3次元幾何で直線距離を測る、などがあります。

答えを信じる前の簡単チェック

次の2つを確認しましょう。

1. 先に引いて、そのあとで2乗したか？
2. 最後の距離は、座標の変化と比べて妥当な大きさか？

この2つを確認するだけで、多くのミスをすばやく見つけられます。

似た問題に挑戦

2次元で $(-2, 3)$ と $(4, -1)$ の間の距離を求めてみましょう。そのあと、中点の公式 と設定を比べて、長さを求める問題と、線分のちょうど中間の点を求める問題の違いを確認してみてください。