Formula della distanza — tra due punti in 2D e 3D

La formula della distanza fornisce la distanza in linea retta tra due punti su un piano cartesiano o nello spazio 3D. Per i punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ in 2D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Per i punti $(x_1, y_1, z_1)$ e $(x_2, y_2, z_2)$ in 3D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Usa questa formula quando vuoi la lunghezza effettiva tra due punti, non solo la variazione orizzontale o verticale. Si applica nelle coordinate cartesiane standard quando ogni asse usa la stessa unità di misura.

Formula della distanza in 2D: che cosa misura

La formula combina due variazioni perpendicolari: quanto ti sposti in $x$ e quanto ti sposti in $y$. Queste variazioni formano i cateti di un triangolo rettangolo, e la distanza tra i punti è l'ipotenusa.

Perché la formula della distanza funziona

Nel piano, la formula della distanza deriva direttamente dal teorema di Pitagora. Se

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

e

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

allora

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

quindi

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

Quindi la formula non è una regola separata da memorizzare. È il teorema di Pitagora scritto in forma di coordinate.

In 3D, aggiungi un'altra variazione perpendicolare:

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

È la stessa idea estesa a una dimensione in più.

Esempio svolto: distanza tra due punti

Trova la distanza tra $(1, 2)$ e $(5, 7)$.

Parti dalla formula della distanza in 2D:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Sostituisci le coordinate:

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

Semplifica le differenze:

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

Eleva al quadrato e somma:

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

Quindi la distanza esatta è $\sqrt{41}$. In forma decimale, $d \approx 6.4$.

Un rapido controllo aiuta. I punti distano $4$ unità in orizzontale e $5$ unità in verticale, quindi la distanza in linea retta dovrebbe essere maggiore di $5$ ma minore di $9$. $\sqrt{41}$ è coerente con questo.

Formula della distanza in 3D

L'impostazione è la stessa, ma ora includi anche la variazione in $z$.

Per esempio, tra $(1, 2, 3)$ e $(5, 7, 6)$, le variazioni delle coordinate sono $4$, $5$ e $3$, quindi

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

Il metodo non cambia. Sottrai le coordinate corrispondenti, elevi al quadrato le differenze, le sommi e prendi la radice quadrata positiva.

Errori comuni con la formula della distanza

1. Elevare al quadrato prima di sottrarre. La formula usa $(x_2 - x_1)^2$, non $x_2^2 - x_1^2$.
2. Dimenticare la radice quadrata. Se ti fermi dopo aver sommato i quadrati, hai trovato $d^2$, non $d$.
3. Confondere gli assi. Una coordinata $x$ deve essere abbinata all'altra coordinata $x$, e lo stesso vale per $y$ e $z$.
4. Perdere un segno negativo durante la sostituzione. Per esempio, $-1 - 3 = -4$, non $4$.
5. Usare la formula quando il grafico non usa la distanza cartesiana standard. Se gli assi usano scale diverse, la distanza geometrica cambia.

Quando si usa la formula della distanza

Si usa la formula della distanza nella geometria analitica ogni volta che sono dati due punti e il problema chiede la lunghezza del segmento tra essi.

I casi più comuni includono trovare le lunghezze dei lati su un grafico, verificare se un punto si trova su una circonferenza, confrontare le distanze da un centro e misurare la separazione in linea retta nella geometria 3D.

Controllo rapido prima di fidarti del risultato

Poniti due domande:

1. Ho prima sottratto e poi elevato al quadrato?
2. La distanza finale ha una grandezza ragionevole rispetto alle variazioni delle coordinate?

Questi due controlli permettono di individuare rapidamente la maggior parte degli errori.

Prova un problema simile

Trova la distanza tra $(-2, 3)$ e $(4, -1)$ in 2D. Poi confronta la tua impostazione con la Formula del punto medio per vedere la differenza tra trovare una lunghezza e trovare un punto a metà del segmento.