거리 공식 — 2D와 3D에서 두 점 사이의 거리

거리 공식은 좌표평면이나 3차원 공간에서 두 점 사이의 직선거리를 구하는 공식입니다. 2D에서 점 $(x_1, y_1)$와 $(x_2, y_2)$에 대해,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

3D에서 점 $(x_1, y_1, z_1)$와 $(x_2, y_2, z_2)$에 대해,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

이 공식은 가로 변화나 세로 변화만이 아니라 두 점 사이의 실제 길이를 구하고 싶을 때 사용합니다. 각 축이 같은 단위 눈금을 사용하는 표준 데카르트 좌표계에서 적용됩니다.

2D 거리 공식: 무엇을 재는가

이 공식은 서로 수직인 두 변화량을 합칩니다. 즉, $x$ 방향으로 얼마나 이동했는지와 $y$ 방향으로 얼마나 이동했는지를 함께 봅니다.

이 두 변화량은 직각삼각형의 두 변이 되고, 두 점 사이의 거리는 빗변이 됩니다.

거리 공식이 성립하는 이유

평면에서 거리 공식은 피타고라스 정리에서 바로 나옵니다. 만약

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

이고

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

라면

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

이므로

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

즉, 이 공식은 따로 외워야 하는 별개의 규칙이 아닙니다. 피타고라스 정리를 좌표 형태로 쓴 것뿐입니다.

3D에서는 여기에 서로 수직인 변화량이 하나 더 추가됩니다.

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

같은 아이디어를 한 차원 더 확장한 것입니다.

예제: 두 점 사이의 거리 구하기

$(1, 2)$와 $(5, 7)$ 사이의 거리를 구해 봅시다.

먼저 2D 거리 공식을 씁니다.

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

좌표를 대입하면,

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

차이를 정리하면,

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

제곱해서 더하면,

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

따라서 정확한 거리는 $\sqrt{41}$입니다. 소수로 나타내면 $d \approx 6.4$입니다.

간단한 확인도 도움이 됩니다. 두 점은 가로로 $4$, 세로로 $5$만큼 떨어져 있으므로 직선거리는 $5$보다 크고 $9$보다 작아야 합니다. $\sqrt{41}$은 이 범위에 들어갑니다.

3D에서의 거리 공식

기본 설정은 같지만, 이제 $z$ 방향의 변화도 포함합니다.

예를 들어 $(1, 2, 3)$과 $(5, 7, 6)$ 사이에서는 좌표 변화량이 각각 $4$, $5$, $3$이므로

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

방법 자체는 달라지지 않습니다. 대응하는 좌표끼리 빼고, 그 차이를 제곱한 뒤, 모두 더하고 양의 제곱근을 구하면 됩니다.

거리 공식에서 자주 하는 실수

1. 빼기 전에 제곱하는 것. 공식은 $(x_2 - x_1)^2$이지 $x_2^2 - x_1^2$가 아닙니다.
2. 제곱근을 빼먹는 것. 제곱한 값을 더한 데서 멈추면 $d$가 아니라 $d^2$를 구한 것입니다.
3. 축을 섞는 것. $x$좌표는 다른 점의 $x$좌표와 대응해야 하고, $y$와 $z$도 마찬가지입니다.
4. 대입할 때 음수 부호를 놓치는 것. 예를 들어 $-1 - 3 = -4$이지 $4$가 아닙니다.
5. 그래프가 표준 데카르트 거리 체계를 따르지 않는데 공식을 사용하는 것. 축의 눈금이 서로 다르면 기하학적 거리도 달라집니다.

거리 공식을 사용하는 경우

좌표기하에서 두 점이 주어지고 그 사이 선분의 길이를 묻는 문제라면 거리 공식을 사용합니다.

대표적으로 그래프에서 변의 길이를 구할 때, 어떤 점이 원 위에 있는지 확인할 때, 중심으로부터의 거리를 비교할 때, 그리고 3D 기하에서 직선거리를 잴 때 자주 쓰입니다.

답을 믿기 전에 빠르게 확인하기

다음 두 가지를 물어보세요.

1. 먼저 빼고 그다음 제곱했는가?
2. 최종 거리가 좌표 변화량과 비교했을 때 적절한 크기인가?

이 두 가지 확인만으로도 대부분의 실수를 빠르게 잡을 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

2D에서 $(-2, 3)$와 $(4, -1)$ 사이의 거리를 구해 보세요. 그런 다음 Midpoint Formula와 풀이를 비교해 보면서, 길이를 구하는 것과 선분의 중간 점을 구하는 것의 차이를 확인해 보세요.