Rumus Jarak — Antara Dua Titik dalam 2D & 3D

Rumus jarak memberikan jarak garis lurus antara dua titik pada bidang koordinat atau dalam ruang 3D. Untuk titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ dalam 2D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Untuk titik $(x_1, y_1, z_1)$ dan $(x_2, y_2, z_2)$ dalam 3D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Gunakan rumus ini saat Anda ingin mengetahui panjang sebenarnya antara dua titik, bukan hanya perubahan horizontal atau vertikal. Rumus ini berlaku dalam koordinat Kartesius standar ketika setiap sumbu menggunakan skala satuan yang sama.

Rumus Jarak dalam 2D: Apa yang Diukur

Rumus ini menggabungkan dua perubahan yang saling tegak lurus: seberapa jauh Anda bergerak pada $x$ dan seberapa jauh Anda bergerak pada $y$. Perubahan-perubahan itu membentuk kaki-kaki segitiga siku-siku, dan jarak antara kedua titik adalah sisi miringnya.

Mengapa Rumus Jarak Bekerja

Pada bidang, rumus jarak langsung berasal dari teorema Pythagoras. Jika

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

dan

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

maka

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

sehingga

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

Jadi, rumus ini bukan aturan terpisah yang harus dihafal. Rumus ini adalah teorema Pythagoras yang ditulis dalam bentuk koordinat.

Dalam 3D, Anda menambahkan satu perubahan tegak lurus lagi:

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

Itu adalah gagasan yang sama yang diperluas ke satu dimensi tambahan.

Contoh Soal: Jarak Antara Dua Titik

Tentukan jarak antara $(1, 2)$ dan $(5, 7)$.

Mulai dengan rumus jarak 2D:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Substitusikan koordinatnya:

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

Sederhanakan selisihnya:

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

Kuadratkan lalu jumlahkan:

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

Jadi jarak tepatnya adalah $\sqrt{41}$. Dalam bentuk desimal, $d \approx 6.4$.

Pemeriksaan cepat akan membantu. Kedua titik berjarak $4$ satuan secara horizontal dan $5$ satuan secara vertikal, jadi jarak garis lurusnya harus lebih dari $5$ tetapi kurang dari $9$. $\sqrt{41}$ sesuai dengan itu.

Rumus Jarak dalam 3D

Susunannya sama, tetapi sekarang Anda juga memasukkan perubahan pada $z$.

Sebagai contoh, antara $(1, 2, 3)$ dan $(5, 7, 6)$, perubahan koordinatnya adalah $4$, $5$, dan $3$, sehingga

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

Metodenya tidak berubah. Anda mengurangkan koordinat yang bersesuaian, menguadratkan selisihnya, menjumlahkannya, lalu mengambil akar kuadrat positif.

Kesalahan Umum pada Rumus Jarak

1. Menguadratkan sebelum mengurangkan. Rumusnya menggunakan $(x_2 - x_1)^2$, bukan $x_2^2 - x_1^2$.
2. Lupa mengambil akar kuadrat. Jika Anda berhenti setelah menjumlahkan kuadratnya, Anda mendapatkan $d^2$, bukan $d$.
3. Mencampur sumbu. Koordinat $x$ harus dipasangkan dengan koordinat $x$ lainnya, dan hal yang sama berlaku untuk $y$ dan $z$.
4. Kehilangan tanda negatif saat substitusi. Misalnya, $-1 - 3 = -4$, bukan $4$.
5. Menggunakan rumus saat grafik tidak memakai jarak Kartesius standar. Jika sumbu-sumbunya memakai skala yang berbeda, jarak geometrisnya berubah.

Kapan Anda Menggunakan Rumus Jarak

Anda menggunakan rumus jarak dalam geometri koordinat setiap kali dua titik diberikan dan soal meminta panjang ruas garis di antara keduanya.

Kasus yang umum meliputi mencari panjang sisi pada grafik, memeriksa apakah suatu titik terletak pada lingkaran, membandingkan jarak dari pusat, dan mengukur pemisahan garis lurus dalam geometri 3D.

Pemeriksaan Cepat Sebelum Memercayai Jawaban

Ajukan dua pertanyaan:

1. Apakah saya mengurangkan dulu lalu menguadratkan?
2. Apakah jarak akhir memiliki ukuran yang masuk akal dibandingkan dengan perubahan koordinatnya?

Dua pemeriksaan itu menangkap sebagian besar kesalahan dengan cepat.

Coba Soal Serupa

Tentukan jarak antara $(-2, 3)$ dan $(4, -1)$ dalam 2D. Lalu bandingkan susunannya dengan Rumus Titik Tengah untuk melihat perbedaan antara mencari panjang dan mencari titik di tengah ruas garis.