Sarkaç — Periyot, Frekans ve Basit Harmonik Hareket

Bir sarkaç, yerçekimi etkisi altında bir dönme noktası etrafında salınan bir kütledir. Sarkaç periyodunu veya frekansını bulmaya çalışıyorsanız, temel sonuç şudur: küçük bir açıyla salınan basit bir sarkaç için periyot

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

ve frekans

$$f = \frac{1}{T}$$

Burada $L$, dönme noktasından cismin kütle merkezine kadar olan uzunluktur ve $g$ yerçekimi ivmesidir. Bu formül, küçük açılarda basit sarkaç modeli için geçerlidir; bu yüzden koşul önemlidir.

Fizikte basit sarkaç ne demektir?

Standart modelde basit sarkaç; noktasal bir cisim, hafif bir ip veya çubuk ve sabit bir dönme noktasından oluşur. Hava direnci ve sürtünme, modellediğiniz süre boyunca ihmal edilebilecek kadar küçüktür.

Bu idealleştirme önemlidir çünkü gerçek sarkaçlar enerji kaybeder ve basit formülden sapabilir. Yine de model kullanışlıdır, çünkü birçok küçük salınımın zamanlamasını iyi tahmin eder.

Bir sarkaç ne zaman basit harmonik hareket yapar?

Bir sarkaç her açı için tam olarak basit harmonik hareket yapmaz. Açısal yer değiştirme $\theta$ yeterince küçük olduğunda yaklaşık olarak BHH yapar ve bu durumda

$$\sin \theta \approx \theta$$

olur; burada $\theta$ radyan cinsinden ölçülür.

Bu koşul altında hareket denklemi

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0$$

şekline gelir; bu da standart BHH biçimidir. Bu nedenle sarkaç, yalnızca küçük salınımlar için yaklaşık olarak BHH gibi davranır.

Sarkaç periyodu ve frekansı formülü

Küçük açı sınırındaki basit bir sarkaç için

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

ve

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

Periyot, bir tam çevrim için geçen süredir. Frekans ise saniyedeki çevrim sayısıdır.

İki kısa sonuç:

• Daha uzun bir sarkacın periyodu daha büyüktür, yani daha yavaş salınır.
• $g$’nin yerel değeri daha büyükse periyot daha kısa olur, yani daha hızlı salınır.

İdeal küçük açı modelinde periyot, cismin kütlesine bağlı değildir.

Çözümlü örnek: 1 m sarkacın periyodu ve frekansı

Basit bir sarkacın uzunluğunun $L = 1.00\ \mathrm{m}$ olduğunu ve $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ kullandığımızı varsayalım. Salınım açısının küçük olduğunu kabul edin.

Periyot formülüyle başlayın:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Değerleri yerine yazın:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.8}}$$ $$T \approx 2\pi\sqrt{0.102}$$ $$T \approx 2.01\ \mathrm{s}$$

Buna göre bir tam salınım yaklaşık $2.01$ saniye sürer.

Şimdi frekansı bulun:

$$f = \frac{1}{T} \approx \frac{1}{2.01} \approx 0.50\ \mathrm{Hz}$$

Yani sarkaç saniyede yaklaşık yarım çevrim tamamlar. Bu iyi bir referans değeridir: Dünya yüzeyine yakın bir yerde $1\ \mathrm{m}$ uzunluğundaki bir sarkaç, çevrim başına yaklaşık $2$ saniye sürer.

Sarkaçla ilgili yaygın hatalar

Formülü büyük salınımlar için kullanmak

Standart periyot formülü yalnızca küçük açı yaklaşımı geçerliyken doğrudur. Salınım büyükse gerçek periyot, basit küçük açı tahmininden daha uzundur.

Yanlış uzunluğu ölçmek

Basit sarkaçta $L$, yalnızca cismin üst noktasına ya da sadece ipin sonuna kadar değil, dönme noktasından cismin kütle merkezine kadar ölçülür.

Periyot ile frekansı karıştırmak

Periyot, çevrim başına süredir. Frekans, saniyedeki çevrim sayısıdır. Bunlar birbirinin tersidir; dolayısıyla daha büyük periyot, daha küçük frekans demektir.

Her salınımın BHH olduğunu sanmak

Sadece ileri-geri hareket etmek yeterli değildir. Sarkaç, yalnızca küçük açı koşulu altında yaklaşık olarak BHH gibi davranır.

Sarkaç modeli nerelerde kullanılır?

Sarkaçlar fizikte salınımlar, geri çağırıcı kuvvetler ve yaklaşım yöntemlerini tanıtmak için kullanılır. Ayrıca zaman ölçümünün tarihinde, sismometrelerde ve periyodun uzunluğa nasıl bağlı olduğunu gösteren sınıf deneylerinde de karşımıza çıkar.

Öğretimde özellikle yararlıdırlar çünkü tek bir sistem aynı anda birkaç fikri birleştirir: yerçekimi, periyodik hareket, açısal yer değiştirme ve bir yaklaşım olarak BHH.

Benzer bir sarkaç sorusunu çözmeyi deneyin

Örnekteki değeri $L = 0.25\ \mathrm{m}$ olarak değiştirin ve yeni periyot ile frekansı hesaplayın. Bu tek değişiklik, zamanlamanın uzunluğa ne kadar güçlü biçimde bağlı olduğunu açıkça gösterir.

Kendiniz denedikten sonra kurulumunuzu kontrol etmek isterseniz, GPAI Solver aynı sarkaç modelini kendi sayılarınızla adım adım açıklayabilir.