Péndulo — período, frecuencia y movimiento armónico simple

Un péndulo es una masa que oscila alrededor de un punto de suspensión bajo la acción de la gravedad. Si quieres hallar el período o la frecuencia de un péndulo, el resultado clave es este: para un péndulo simple que oscila con un ángulo pequeño, el período es

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

y la frecuencia es

$$f = \frac{1}{T}$$

Aquí $L$ es la longitud desde el punto de suspensión hasta el centro de masa de la pesa, y $g$ es la aceleración de la gravedad. Esta fórmula funciona para el modelo de péndulo simple con ángulos pequeños, así que esa condición importa.

Qué significa un péndulo simple en física

En el modelo estándar, un péndulo simple tiene una masa puntual, una cuerda o varilla ligera y un punto de suspensión fijo. La resistencia del aire y el rozamiento son lo bastante pequeños como para ignorarlos durante el tiempo que estás modelando.

Esta idealización importa porque los péndulos reales pierden energía y pueden apartarse de la fórmula simple. Aun así, el modelo sigue siendo útil porque predice bien el tiempo de muchas oscilaciones pequeñas.

Cuándo un péndulo es movimiento armónico simple

Un péndulo no es exactamente movimiento armónico simple para cualquier ángulo. Es aproximadamente MAS cuando el desplazamiento angular $\theta$ es lo bastante pequeño como para que

$$\sin \theta \approx \theta$$

con $\theta$ medido en radianes.

Bajo esa condición, la ecuación de movimiento se convierte en

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0$$

que es la forma estándar del MAS. Por eso un péndulo se comporta como MAS solo de manera aproximada para oscilaciones pequeñas.

Fórmula del período y la frecuencia del péndulo

Para un péndulo simple en el límite de ángulo pequeño,

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

y

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

El período es el tiempo que tarda en completar un ciclo. La frecuencia es el número de ciclos por segundo.

Dos conclusiones rápidas:

• Un péndulo más largo tiene un período mayor, así que oscila más lentamente.
• Un valor local mayor de $g$ da un período menor, así que oscila más rápido.

En el modelo ideal de ángulo pequeño, el período no depende de la masa de la pesa.

Ejemplo resuelto: período y frecuencia de un péndulo de 1 m

Supón que un péndulo simple tiene longitud $L = 1.00\ \mathrm{m}$ y usamos $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$. Supón que el ángulo de oscilación es pequeño.

Empieza con la fórmula del período:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Sustituye los valores:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.8}}$$ $$T \approx 2\pi\sqrt{0.102}$$ $$T \approx 2.01\ \mathrm{s}$$

Así que una oscilación completa tarda aproximadamente $2.01$ segundos.

Ahora halla la frecuencia:

$$f = \frac{1}{T} \approx \frac{1}{2.01} \approx 0.50\ \mathrm{Hz}$$

Así que el péndulo completa aproximadamente medio ciclo por segundo. Este es un buen valor de referencia: un péndulo de $1\ \mathrm{m}$ cerca de la superficie terrestre tarda unos $2$ segundos por ciclo.

Errores comunes con el péndulo

Usar la fórmula para oscilaciones grandes

La fórmula estándar del período es precisa solo cuando la aproximación de ángulo pequeño es válida. Si la oscilación es grande, el período real es mayor que la predicción simple de ángulo pequeño.

Medir la longitud incorrecta

Para un péndulo simple, $L$ se mide desde el punto de suspensión hasta el centro de masa de la pesa, no solo hasta la parte superior de la pesa ni hasta el extremo de la cuerda por sí sola.

Confundir período y frecuencia

El período es tiempo por ciclo. La frecuencia es ciclos por segundo. Son recíprocos, así que un período mayor significa una frecuencia menor.

Suponer que toda oscilación es MAS

No basta con que haya un movimiento de ida y vuelta. El péndulo se comporta aproximadamente como MAS solo bajo la condición de ángulo pequeño.

Dónde se usa el modelo de péndulo

Los péndulos se usan para introducir las oscilaciones, las fuerzas restauradoras y los métodos de aproximación en física. También aparecen en la historia de la medición del tiempo, en sismómetros y en experimentos de aula que muestran cómo el período depende de la longitud.

Son especialmente útiles en la enseñanza porque un solo sistema conecta varias ideas a la vez: gravedad, movimiento periódico, desplazamiento angular y MAS como aproximación.

Intenta resolver un problema similar de péndulo

Cambia el ejemplo a $L = 0.25\ \mathrm{m}$ y calcula el nuevo período y la nueva frecuencia. Ese único cambio deja claro hasta qué punto el tiempo depende de la longitud.

Si quieres comprobar tu planteamiento después de intentarlo por tu cuenta, GPAI Solver puede recorrer el mismo modelo de péndulo paso a paso con tus propios valores.