ลูกตุ้ม — คาบ ความถี่ และการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ลูกตุ้มคือมวลที่แกว่งรอบจุดหมุนภายใต้แรงโน้มถ่วง หากคุณต้องการหาคาบหรือความถี่ของลูกตุ้ม ผลลัพธ์สำคัญคือ: สำหรับลูกตุ้มอย่างง่ายที่แกว่งด้วยมุมเล็ก คาบคือ

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

และความถี่คือ

$$f = \frac{1}{T}$$

โดยที่ $L$ คือความยาวจากจุดหมุนถึงจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้ม และ $g$ คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง สูตรนี้ใช้ได้กับแบบจำลองลูกตุ้มอย่างง่ายในกรณีมุมแกว่งเล็ก ดังนั้นเงื่อนไขนี้จึงสำคัญ

ลูกตุ้มอย่างง่ายในฟิสิกส์หมายถึงอะไร

ในแบบจำลองมาตรฐาน ลูกตุ้มอย่างง่ายมีมวลปลายเป็นจุด เชือกหรือแท่งมีมวลน้อยมาก และมีจุดหมุนคงที่ ความต้านทานอากาศและแรงเสียดทานมีค่าน้อยพอที่จะละเลยได้ในช่วงเวลาที่กำลังพิจารณา

การทำให้เป็นอุดมคตินี้สำคัญ เพราะลูกตุ้มจริงสูญเสียพลังงานและอาจเบี่ยงเบนจากสูตรอย่างง่ายได้ ถึงอย่างนั้น แบบจำลองนี้ยังมีประโยชน์เพราะทำนายจังหวะของการสั่นขนาดเล็กได้ดี

เมื่อลูกตุ้มเป็นการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ลูกตุ้มไม่ได้เป็นการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่ายอย่างแท้จริงสำหรับทุกมุม มันจะใกล้เคียง SHM เมื่อการกระจัดเชิงมุม $\theta$ มีค่าน้อยพอที่

$$\sin \theta \approx \theta$$

โดยวัด $\theta$ เป็นเรเดียน

ภายใต้เงื่อนไขนี้ สมการการเคลื่อนที่จะเป็น

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0$$

ซึ่งเป็นรูปมาตรฐานของ SHM นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมลูกตุ้มจึงมีพฤติกรรมเหมือน SHM ได้เพียงโดยประมาณสำหรับการแกว่งมุมเล็ก

สูตรคาบและความถี่ของลูกตุ้ม

สำหรับลูกตุ้มอย่างง่ายในขีดจำกัดมุมเล็ก

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

และ

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

คาบคือเวลาที่ใช้ในการสั่นครบหนึ่งรอบ ความถี่คือจำนวนรอบต่อวินาที

ข้อสรุปสั้น ๆ สองข้อ:

• ลูกตุ้มที่ยาวกว่าจะมีคาบมากกว่า จึงแกว่งช้ากว่า
• ค่าของ $g$ ในบริเวณนั้นยิ่งมาก คาบยิ่งสั้น จึงแกว่งเร็วขึ้น

ในแบบจำลองอุดมคติสำหรับมุมเล็ก คาบไม่ขึ้นกับมวลของลูกตุ้ม

ตัวอย่างคำนวณ: คาบและความถี่ของลูกตุ้มยาว 1 m

สมมติว่าลูกตุ้มอย่างง่ายมีความยาว $L = 1.00\ \mathrm{m}$ และใช้ $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$. ให้ถือว่ามุมแกว่งมีค่าน้อย

เริ่มจากสูตรคาบ:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

แทนค่า:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.8}}$$ $$T \approx 2\pi\sqrt{0.102}$$ $$T \approx 2.01\ \mathrm{s}$$

ดังนั้นการสั่นครบหนึ่งรอบใช้เวลาประมาณ $2.01$ วินาที

ต่อไปหาความถี่:

$$f = \frac{1}{T} \approx \frac{1}{2.01} \approx 0.50\ \mathrm{Hz}$$

ดังนั้นลูกตุ้มสั่นได้ประมาณครึ่งรอบต่อวินาที ค่านี้เป็นค่าที่ใช้อ้างอิงได้ดี: ลูกตุ้มยาว $1\ \mathrm{m}$ ใกล้ผิวโลกจะใช้เวลาประมาณ $2$ วินาทีต่อหนึ่งรอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับลูกตุ้ม

ใช้สูตรกับการแกว่งมุมมาก

สูตรคาบมาตรฐานแม่นยำได้ก็ต่อเมื่อการประมาณมุมเล็กใช้ได้ดีเท่านั้น ถ้ามุมแกว่งมาก คาบจริงจะยาวกว่าค่าที่สูตรมุมเล็กทำนาย

วัดความยาวผิด

สำหรับลูกตุ้มอย่างง่าย ต้องวัด $L$ จากจุดหมุนถึงจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้ม ไม่ใช่วัดแค่ถึงด้านบนของลูกตุ้มหรือเฉพาะความยาวเชือกเพียงอย่างเดียว

สับสนระหว่างคาบกับความถี่

คาบคือเวลาต่อหนึ่งรอบ ความถี่คือจำนวนรอบต่อวินาที ทั้งสองเป็นส่วนกลับกัน ดังนั้นคาบมากขึ้นหมายถึงความถี่น้อยลง

คิดว่าการสั่นทุกแบบเป็น SHM

การเคลื่อนที่ไป-กลับเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ ลูกตุ้มจะมีพฤติกรรมใกล้เคียง SHM ได้ก็ต่อเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขมุมเล็กเท่านั้น

แบบจำลองลูกตุ้มถูกนำไปใช้ที่ไหน

ลูกตุ้มถูกใช้เพื่อแนะนำเรื่องการสั่น แรงดึงกลับ และวิธีการประมาณค่าในฟิสิกส์ นอกจากนี้ยังปรากฏในประวัติศาสตร์การบอกเวลา เครื่องวัดแผ่นดินไหว และการทดลองในห้องเรียนที่แสดงให้เห็นว่าคาบขึ้นกับความยาวอย่างไร

ลูกตุ้มมีประโยชน์อย่างยิ่งในการสอน เพราะระบบเดียวเชื่อมโยงหลายแนวคิดเข้าด้วยกันพร้อมกัน ได้แก่ แรงโน้มถ่วง การเคลื่อนที่แบบคาบ การกระจัดเชิงมุม และ SHM ในฐานะการประมาณ

ลองแก้โจทย์ลูกตุ้มที่คล้ายกัน

เปลี่ยนตัวอย่างเป็น $L = 0.25\ \mathrm{m}$ แล้วคำนวณคาบและความถี่ใหม่ การเปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียวนี้ทำให้เห็นชัดว่าจังหวะการสั่นขึ้นกับความยาวมากเพียงใด

หากคุณต้องการตรวจสอบวิธีตั้งโจทย์หลังจากลองทำเองแล้ว GPAI Solver สามารถพาคุณไล่แบบจำลองลูกตุ้มเดียวกันทีละขั้นด้วยค่าตัวเลขของคุณเองได้