振り子 — 周期・振動数・単振動

振り子とは、重力のもとで支点を中心に揺れる質点のことです。振り子の周期や振動数を求めたいときの重要な結果は次のとおりです。小さい角度で振れる単振り子では、周期は

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

で、振動数は

f = \frac{1}{T}

です。

ここで $L$ は支点からおもりの重心までの長さ、 $g$ は重力加速度です。この式は小角度での単振り子モデルに対して成り立つので、その条件が重要です。

物理でいう単振り子とは

標準的なモデルでは、単振り子は点のように扱えるおもり、軽い糸または棒、そして固定された支点からなります。空気抵抗や摩擦は、考えている時間の範囲では無視できるほど小さいとします。

この理想化は重要です。実際の振り子はエネルギーを失い、単純な式からずれていくことがあるからです。それでもこのモデルが有用なのは、小さな振動を何回も繰り返すときの時間関係をよく予測できるためです。

振り子は、どんな角度でも厳密に単振動になるわけではありません。角変位 $\theta$ が十分小さく、

\sin \theta \approx \theta

が成り立つときに、近似的に単振動になります。ここで $\theta$ はラジアンで測ります。

この条件のもとでは、運動方程式は

\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0

となり、これは標準的な単振動の形です。だから振り子は、小さな振れに対してのみ近似的に単振動として振る舞います。

小角近似が成り立つ単振り子では、

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

であり、

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}

です。

周期は1回の完全な往復にかかる時間です。振動数は1秒あたりの往復回数です。

重要なポイントを2つ挙げると、

理想的な小角度モデルでは、周期はおもりの質量に依存しません。

単振り子の長さが $L = 1.00\ \mathrm{m}$ で、 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ を使うとします。振れ角は小さいと仮定します。

まず周期の公式を書きます。

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

値を代入すると、

T = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.8}}

T \approx 2\pi\sqrt{0.102}

T \approx 2.01\ \mathrm{s}

となります。

したがって、1回の完全な振動にかかる時間は約 $2.01$ 秒です。

次に振動数を求めます。

f = \frac{1}{T} \approx \frac{1}{2.01} \approx 0.50\ \mathrm{Hz}

したがって、この振り子は1秒あたり約半回振動します。これは覚えておくと便利な目安で、地表付近では長さ $1\ \mathrm{m}$ の振り子の周期は1往復あたり約 $2$ 秒です。

標準的な周期の公式が正確なのは、小角近似が十分よく成り立つときだけです。振れが大きいと、実際の周期は小角近似による単純な予測より長くなります。

単振り子では、 $L$ は支点からおもりの重心までを測ります。おもりの上端までや、糸の長さだけを測るのではありません。

周期は1回の振動にかかる時間です。振動数は1秒あたりの振動回数です。両者は逆数の関係にあるので、周期が大きいほど振動数は小さくなります。

ただ往復しているだけでは十分ではありません。振り子が単振動のように振る舞うのは、小角度の条件が成り立つ場合に限られます。

振り子は、物理で振動、復元力、近似の方法を導入するときによく使われます。また、時計の歴史、地震計、そして周期が長さにどう依存するかを示す授業実験にも登場します。

特に教育では、1つの系で複数の考え方を同時に結びつけられるため有用です。重力、周期運動、角変位、そして近似としての単振動が1つにまとまっています。

例を $L = 0.25\ \mathrm{m}$ に変えて、新しい周期と振動数を計算してみてください。この1つの変更だけで、時間関係が長さにどれほど強く依存するかがはっきりわかります。

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