Pêndulo — Período, Frequência e Movimento Harmônico Simples

Um pêndulo é uma massa que oscila em torno de um pivô sob a ação da gravidade. Se você está tentando encontrar o período ou a frequência de um pêndulo, o resultado principal é este: para um pêndulo simples oscilando com pequeno ângulo, o período é

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

e a frequência é

$$f = \frac{1}{T}$$

Aqui, $L$ é o comprimento do pivô até o centro de massa do corpo, e $g$ é a aceleração da gravidade. Essa fórmula vale para o modelo de pêndulo simples em pequenos ângulos, então essa condição é importante.

O que significa um pêndulo simples na física

No modelo padrão, um pêndulo simples tem uma massa puntiforme, um fio ou haste leve e um pivô fixo. A resistência do ar e o atrito são pequenos o suficiente para serem desprezados no intervalo de tempo que você está modelando.

Essa idealização importa porque pêndulos reais perdem energia e podem se afastar da fórmula simples. Ainda assim, o modelo é útil porque prevê bem o tempo de muitas pequenas oscilações.

Quando um pêndulo é movimento harmônico simples

Um pêndulo não é exatamente um movimento harmônico simples para qualquer ângulo. Ele é aproximadamente MHS quando o deslocamento angular $\theta$ é pequeno o suficiente para que

$$\sin \theta \approx \theta$$

com $\theta$ medido em radianos.

Nessa condição, a equação do movimento se torna

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0$$

que é a forma padrão do MHS. É por isso que um pêndulo se comporta como MHS apenas como aproximação para pequenas oscilações.

Fórmula do período e da frequência do pêndulo

Para um pêndulo simples no limite de pequenos ângulos,

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

e

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

O período é o tempo de um ciclo completo. A frequência é o número de ciclos por segundo.

Duas conclusões rápidas:

• Um pêndulo mais longo tem período maior, então oscila mais lentamente.
• Um valor local maior de $g$ produz um período menor, então ele oscila mais rapidamente.

No modelo ideal de pequenos ângulos, o período não depende da massa do corpo.

Exemplo resolvido: período e frequência de um pêndulo de 1 m

Suponha que um pêndulo simples tenha comprimento $L = 1.00\ \mathrm{m}$ e usemos $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$. Assuma que o ângulo de oscilação é pequeno.

Comece com a fórmula do período:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Substitua os valores:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.8}}$$ $$T \approx 2\pi\sqrt{0.102}$$ $$T \approx 2.01\ \mathrm{s}$$

Então uma oscilação completa leva cerca de $2.01$ segundos.

Agora calcule a frequência:

$$f = \frac{1}{T} \approx \frac{1}{2.01} \approx 0.50\ \mathrm{Hz}$$

Assim, o pêndulo completa cerca de meio ciclo por segundo. Esse é um bom valor de referência: um pêndulo de $1\ \mathrm{m}$ perto da superfície da Terra leva cerca de $2$ segundos por ciclo.

Erros comuns com pêndulos

Usar a fórmula para oscilações grandes

A fórmula padrão do período é precisa apenas quando a aproximação de pequeno ângulo é válida. Se a oscilação for grande, o período real será maior do que a previsão simples de pequenos ângulos.

Medir o comprimento errado

Para um pêndulo simples, $L$ é medido do pivô até o centro de massa do corpo, e não apenas até o topo da massa ou até o comprimento do fio sozinho.

Confundir período com frequência

Período é tempo por ciclo. Frequência é número de ciclos por segundo. Eles são recíprocos, então um período maior significa uma frequência menor.

Supor que toda oscilação é MHS

O simples movimento de vai e vem não basta. O pêndulo se comporta aproximadamente como MHS apenas sob a condição de pequeno ângulo.

Onde o modelo de pêndulo é usado

Os pêndulos são usados para introduzir oscilações, forças restauradoras e métodos de aproximação na física. Eles também aparecem na história da medição do tempo, em sismômetros e em experimentos de sala de aula que mostram como o período depende do comprimento.

Eles são especialmente úteis no ensino porque um único sistema conecta várias ideias ao mesmo tempo: gravidade, movimento periódico, deslocamento angular e MHS como aproximação.

Tente resolver um problema semelhante de pêndulo

Mude o exemplo para $L = 0.25\ \mathrm{m}$ e calcule o novo período e a nova frequência. Essa única mudança deixa claro o quanto o tempo depende do comprimento.

Se você quiser conferir sua resolução depois de tentar sozinho, o GPAI Solver pode mostrar o mesmo modelo de pêndulo passo a passo com os seus próprios valores.