Pendule — Période, fréquence et mouvement harmonique simple

Un pendule est une masse qui oscille autour d’un pivot sous l’effet de la gravité. Si vous cherchez à déterminer la période ou la fréquence d’un pendule, le résultat clé est le suivant : pour un pendule simple oscillant avec un petit angle, la période vaut

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

et la fréquence vaut

$$f = \frac{1}{T}$$

Ici, $L$ est la longueur mesurée du pivot jusqu’au centre de masse de la bille, et $g$ est l’accélération de la pesanteur. Cette formule fonctionne pour le modèle du pendule simple à petits angles, donc cette condition est importante.

Ce que signifie un pendule simple en physique

Dans le modèle standard, un pendule simple possède une bille assimilée à un point matériel, un fil ou une tige légère, et un pivot fixe. La résistance de l’air et les frottements sont suffisamment faibles pour être négligés pendant la durée étudiée.

Cette idéalisation est importante, car les pendules réels perdent de l’énergie et peuvent s’écarter de la formule simple. Le modèle reste utile parce qu’il prédit bien la durée de nombreuses petites oscillations.

Quand un pendule est un mouvement harmonique simple

Un pendule n’est pas exactement un mouvement harmonique simple pour n’importe quel angle. Il est approximativement un MHS lorsque le déplacement angulaire $\theta$ est assez petit pour que

$$\sin \theta \approx \theta$$

avec $\theta$ mesuré en radians.

Dans cette condition, l’équation du mouvement devient

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0$$

ce qui est la forme standard du MHS. C’est pourquoi un pendule ne se comporte comme un MHS que de façon approchée pour de petites oscillations.

Formule de la période et de la fréquence du pendule

Pour un pendule simple dans la limite des petits angles,

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

et

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

La période est la durée d’un cycle complet. La fréquence est le nombre de cycles par seconde.

Deux points essentiels :

• Un pendule plus long a une période plus grande, donc il oscille plus lentement.
• Une valeur locale plus grande de $g$ donne une période plus courte, donc il oscille plus rapidement.

Dans le modèle idéal à petits angles, la période ne dépend pas de la masse de la bille.

Exemple résolu : période et fréquence d’un pendule de 1 m

Supposons qu’un pendule simple ait une longueur $L = 1.00\ \mathrm{m}$ et que l’on prenne $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$. On suppose que l’angle d’oscillation est petit.

Commençons par la formule de la période :

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Remplaçons par les valeurs :

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.8}}$$ $$T \approx 2\pi\sqrt{0.102}$$ $$T \approx 2.01\ \mathrm{s}$$

Donc une oscillation complète dure environ $2.01$ secondes.

Calculons maintenant la fréquence :

$$f = \frac{1}{T} \approx \frac{1}{2.01} \approx 0.50\ \mathrm{Hz}$$

Le pendule effectue donc environ un demi-cycle par seconde. C’est une bonne valeur de référence : un pendule de $1\ \mathrm{m}$ près de la surface de la Terre met environ $2$ secondes par cycle.

Erreurs fréquentes avec les pendules

Utiliser la formule pour de grandes oscillations

La formule standard de la période n’est précise que lorsque l’approximation des petits angles est valable. Si l’oscillation est grande, la période réelle est plus longue que celle prédite par la formule simple à petits angles.

Mesurer la mauvaise longueur

Pour un pendule simple, $L$ se mesure du pivot jusqu’au centre de masse de la bille, et non seulement jusqu’au sommet de la bille ou jusqu’à l’extrémité du fil seul.

Confondre période et fréquence

La période est un temps par cycle. La fréquence est un nombre de cycles par seconde. Ce sont des grandeurs réciproques, donc une période plus grande signifie une fréquence plus petite.

Supposer que toute oscillation est un MHS

Un simple mouvement de va-et-vient ne suffit pas. Le pendule se comporte approximativement comme un MHS seulement dans la condition des petits angles.

Où le modèle du pendule est utilisé

Les pendules servent à introduire les oscillations, les forces de rappel et les méthodes d’approximation en physique. On les retrouve aussi dans l’histoire de la mesure du temps, dans les sismomètres et dans les expériences de classe qui montrent comment la période dépend de la longueur.

Ils sont particulièrement utiles en enseignement, car un seul système relie plusieurs idées à la fois : la gravité, le mouvement périodique, le déplacement angulaire et le MHS comme approximation.

Essayez de résoudre un problème de pendule similaire

Modifiez l’exemple en prenant $L = 0.25\ \mathrm{m}$ et calculez la nouvelle période ainsi que la nouvelle fréquence. Ce seul changement montre clairement à quel point la durée dépend de la longueur.

Si vous voulez vérifier votre démarche après avoir essayé vous-même, GPAI Solver peut reprendre le même modèle de pendule étape par étape avec vos propres valeurs.