Pendel — Periode, Frequenz & einfache harmonische Schwingung

Ein Pendel ist eine Masse, die unter dem Einfluss der Schwerkraft um einen Aufhängepunkt schwingt. Wenn du die Pendelperiode oder Frequenz bestimmen willst, ist das wichtigste Ergebnis dieses: Für ein einfaches Pendel mit kleinem Auslenkungswinkel gilt für die Periode

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

und für die Frequenz

$$f = \frac{1}{T}$$

Dabei ist $L$ die Länge vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt des Pendelkörpers, und $g$ ist die Erdbeschleunigung. Diese Formel gilt für das Modell des einfachen Pendels bei kleinen Winkeln, deshalb ist diese Bedingung wichtig.

Was ein einfaches Pendel in der Physik bedeutet

Im Standardmodell hat ein einfaches Pendel einen punktförmigen Pendelkörper, einen leichten Faden oder Stab und einen festen Aufhängepunkt. Luftwiderstand und Reibung sind klein genug, um sie für den betrachteten Zeitraum zu vernachlässigen.

Diese Idealisierung ist wichtig, weil reale Pendel Energie verlieren und von der einfachen Formel abweichen können. Das Modell ist trotzdem nützlich, weil es die zeitliche Abfolge vieler kleiner Schwingungen gut vorhersagt.

Wann ein Pendel eine einfache harmonische Schwingung ist

Ein Pendel ist nicht bei jedem Winkel exakt eine einfache harmonische Schwingung. Es ist näherungsweise eine EHS, wenn die Winkelauslenkung $\theta$ klein genug ist, sodass

$$\sin \theta \approx \theta$$

gilt, wobei $\theta$ im Bogenmaß gemessen wird.

Unter dieser Bedingung wird die Bewegungsgleichung zu

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0$$

das ist die Standardform einer EHS. Deshalb verhält sich ein Pendel nur näherungsweise wie eine EHS, und zwar bei kleinen Auslenkungen.

Formel für Pendelperiode und Frequenz

Für ein einfaches Pendel im Grenzfall kleiner Winkel gilt

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

und

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

Die Periode ist die Zeit für einen vollständigen Schwingungszyklus. Die Frequenz ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde.

Zwei kurze Kernaussagen:

• Ein längeres Pendel hat eine größere Periode und schwingt daher langsamer.
• Ein größerer lokaler Wert von $g$ führt zu einer kleineren Periode, daher schwingt es schneller.

Im idealen Modell für kleine Winkel hängt die Periode nicht von der Masse des Pendelkörpers ab.

Durchgerechnetes Beispiel: Periode und Frequenz eines 1-m-Pendels

Angenommen, ein einfaches Pendel hat die Länge $L = 1.00\ \mathrm{m}$ und wir verwenden $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$. Nimm an, der Auslenkungswinkel ist klein.

Beginne mit der Formel für die Periode:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Setze die Werte ein:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.8}}$$ $$T \approx 2\pi\sqrt{0.102}$$ $$T \approx 2.01\ \mathrm{s}$$

Eine vollständige Schwingung dauert also etwa $2.01$ Sekunden.

Bestimme nun die Frequenz:

$$f = \frac{1}{T} \approx \frac{1}{2.01} \approx 0.50\ \mathrm{Hz}$$

Das Pendel führt also etwa eine halbe Schwingung pro Sekunde aus. Das ist ein guter Richtwert: Ein Pendel mit $1\ \mathrm{m}$ Länge nahe der Erdoberfläche benötigt etwa $2$ Sekunden pro Schwingung.

Häufige Fehler bei Pendelaufgaben

Die Formel bei großen Auslenkungen verwenden

Die Standardformel für die Periode ist nur dann genau, wenn die Kleinwinkelnäherung gut erfüllt ist. Bei großer Auslenkung ist die tatsächliche Periode länger als die einfache Vorhersage für kleine Winkel.

Die falsche Länge messen

Bei einem einfachen Pendel wird $L$ vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt des Pendelkörpers gemessen, nicht nur bis zur Oberkante des Körpers oder nur bis zum Ende des Fadens.

Periode und Frequenz verwechseln

Die Periode ist die Zeit pro Schwingung. Die Frequenz ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde. Beide sind Kehrwerte voneinander, daher bedeutet eine größere Periode eine kleinere Frequenz.

Annehmen, dass jede Schwingung eine EHS ist

Eine Hin-und-her-Bewegung allein reicht nicht aus. Das Pendel verhält sich nur unter der Bedingung kleiner Winkel näherungsweise wie eine EHS.

Wo das Pendelmodell verwendet wird

Pendel werden verwendet, um Schwingungen, rücktreibende Kräfte und Näherungsverfahren in der Physik einzuführen. Sie tauchen auch in der Geschichte der Zeitmessung, in Seismometern und in Schulversuchen auf, die zeigen, wie die Periode von der Länge abhängt.

Sie sind im Unterricht besonders nützlich, weil ein einziges System mehrere Ideen gleichzeitig verbindet: Schwerkraft, periodische Bewegung, Winkelauslenkung und EHS als Näherung.

Versuche eine ähnliche Pendelaufgabe zu lösen

Ändere im Beispiel die Länge zu $L = 0.25\ \mathrm{m}$ und berechne die neue Periode und Frequenz. Schon diese eine Änderung macht deutlich, wie stark die Zeitdauer von der Länge abhängt.

Wenn du deinen Ansatz nach dem eigenen Rechnen überprüfen möchtest, kann GPAI Solver dasselbe Pendelmodell mit deinen eigenen Zahlen Schritt für Schritt durchgehen.