Wahadło — okres, częstotliwość i ruch harmoniczny prosty

Wahadło to masa wykonująca ruch wahadłowy wokół punktu zawieszenia pod wpływem grawitacji. Jeśli chcesz wyznaczyć okres lub częstotliwość wahadła, kluczowy wynik jest następujący: dla wahadła prostego wychylającego się o mały kąt okres wynosi

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

a częstotliwość wynosi

$$f = \frac{1}{T}$$

Tutaj $L$ to długość od punktu zawieszenia do środka masy ciężarka, a $g$ to przyspieszenie grawitacyjne. Ten wzór działa dla modelu wahadła prostego przy małych kątach, więc ten warunek ma znaczenie.

Co oznacza wahadło proste w fizyce

W standardowym modelu wahadło proste ma punktowy ciężarek, lekką nić lub pręt oraz nieruchomy punkt zawieszenia. Opór powietrza i tarcie są na tyle małe, że można je pominąć w rozpatrywanym czasie ruchu.

To wyidealizowanie jest ważne, ponieważ rzeczywiste wahadła tracą energię i mogą odchylać się od prostego wzoru. Mimo to model jest użyteczny, bo dobrze przewiduje czas wielu małych drgań.

Kiedy ruch wahadła jest ruchem harmonicznym prostym

Ruch wahadła nie jest dokładnie ruchem harmonicznym prostym dla każdego kąta. Jest on w przybliżeniu RHP, gdy wychylenie kątowe $\theta$ jest na tyle małe, że

$$\sin \theta \approx \theta$$

przy czym $\theta$ jest mierzone w radianach.

W tym warunku równanie ruchu przyjmuje postać

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0$$

czyli standardową postać RHP. Dlatego wahadło zachowuje się jak układ wykonujący RHP tylko w przybliżeniu dla małych wychyleń.

Wzór na okres i częstotliwość wahadła

Dla wahadła prostego w granicy małych kątów

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

oraz

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

Okres to czas jednego pełnego cyklu. Częstotliwość to liczba cykli na sekundę.

Dwa szybkie wnioski:

• Dłuższe wahadło ma dłuższy okres, więc porusza się wolniej.
• Większa lokalna wartość $g$ daje krótszy okres, więc wahadło porusza się szybciej.

W idealnym modelu małych kątów okres nie zależy od masy ciężarka.

Przykład obliczeniowy: okres i częstotliwość wahadła o długości 1 m

Załóżmy, że wahadło proste ma długość $L = 1.00\ \mathrm{m}$ i przyjmujemy $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$. Zakładamy, że kąt wychylenia jest mały.

Zacznij od wzoru na okres:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Podstaw wartości:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.8}}$$ $$T \approx 2\pi\sqrt{0.102}$$ $$T \approx 2.01\ \mathrm{s}$$

Zatem jedno pełne drganie trwa około $2.01$ sekundy.

Teraz wyznacz częstotliwość:

$$f = \frac{1}{T} \approx \frac{1}{2.01} \approx 0.50\ \mathrm{Hz}$$

Czyli wahadło wykonuje około pół cyklu na sekundę. To dobra wartość orientacyjna: wahadło o długości $1\ \mathrm{m}$ przy powierzchni Ziemi ma okres około $2$ sekund.

Najczęstsze błędy przy zadaniach o wahadle

Używanie wzoru dla dużych wychyleń

Standardowy wzór na okres jest dokładny tylko wtedy, gdy przybliżenie małego kąta jest dobre. Jeśli wychylenie jest duże, rzeczywisty okres jest dłuższy niż przewiduje prosty wzór dla małych kątów.

Mierzenie niewłaściwej długości

Dla wahadła prostego $L$ mierzy się od punktu zawieszenia do środka masy ciężarka, a nie tylko do górnej części ciężarka ani do samego końca nici.

Mylenie okresu z częstotliwością

Okres to czas jednego cyklu. Częstotliwość to liczba cykli na sekundę. Są to wielkości odwrotne, więc większy okres oznacza mniejszą częstotliwość.

Zakładanie, że każde drganie jest RHP

Sam ruch tam i z powrotem nie wystarcza. Wahadło zachowuje się w przybliżeniu jak układ wykonujący RHP tylko przy spełnieniu warunku małego kąta.

Gdzie wykorzystuje się model wahadła

Wahadła służą do wprowadzania pojęć drgań, sił przywracających i metod przybliżonych w fizyce. Pojawiają się też w historii pomiaru czasu, w sejsmometrach oraz w doświadczeniach szkolnych pokazujących, jak okres zależy od długości.

Są szczególnie użyteczne w nauczaniu, ponieważ jeden układ łączy kilka idei naraz: grawitację, ruch okresowy, wychylenie kątowe i RHP jako przybliżenie.

Spróbuj rozwiązać podobne zadanie o wahadle

Zmień dane w przykładzie na $L = 0.25\ \mathrm{m}$ i oblicz nowy okres oraz częstotliwość. Ta jedna zmiana dobrze pokazuje, jak silnie czas drgań zależy od długości.

Jeśli chcesz sprawdzić swoje rozwiązanie po samodzielnej próbie, GPAI Solver może przeprowadzić ten sam model wahadła krok po kroku dla Twoich własnych danych.