Εκκρεμές — Περίοδος, Συχνότητα και Απλή Αρμονική Ταλάντωση

Ένα εκκρεμές είναι μια μάζα που ταλαντώνεται γύρω από ένα σημείο ανάρτησης υπό την επίδραση της βαρύτητας. Αν προσπαθείς να βρεις την περίοδο ή τη συχνότητα ενός εκκρεμούς, το βασικό αποτέλεσμα είναι το εξής: για ένα απλό εκκρεμές που ταλαντώνεται με μικρή γωνία, η περίοδος είναι

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

και η συχνότητα είναι

$$f = \frac{1}{T}$$

Εδώ το $L$ είναι το μήκος από το σημείο ανάρτησης μέχρι το κέντρο μάζας του σώματος, και το $g$ είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. Αυτός ο τύπος ισχύει για το μοντέλο του απλού εκκρεμούς σε μικρές γωνίες, οπότε η συνθήκη αυτή έχει σημασία.

Τι σημαίνει απλό εκκρεμές στη φυσική

Στο τυπικό μοντέλο, ένα απλό εκκρεμές έχει σημειακή μάζα, ελαφρύ νήμα ή ράβδο και σταθερό σημείο ανάρτησης. Η αντίσταση του αέρα και η τριβή είναι αρκετά μικρές ώστε να αγνοούνται στο χρονικό διάστημα που μελετάς.

Αυτή η ιδανικοποίηση έχει σημασία, επειδή τα πραγματικά εκκρεμή χάνουν ενέργεια και μπορεί να αποκλίνουν από τον απλό τύπο. Το μοντέλο παραμένει χρήσιμο, επειδή προβλέπει καλά τον χρονισμό πολλών μικρών ταλαντώσεων.

Πότε ένα εκκρεμές εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση

Ένα εκκρεμές δεν εκτελεί ακριβώς απλή αρμονική ταλάντωση για κάθε γωνία. Προσεγγιστικά εκτελεί ΑΑΤ όταν η γωνιακή απομάκρυνση $\theta$ είναι αρκετά μικρή ώστε

$$\sin \theta \approx \theta$$

με το $\theta$ να μετριέται σε ακτίνια.

Κάτω από αυτή τη συνθήκη, η εξίσωση κίνησης γίνεται

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0$$

που είναι η τυπική μορφή της ΑΑΤ. Γι’ αυτό ένα εκκρεμές συμπεριφέρεται σαν ΑΑΤ μόνο κατά προσέγγιση για μικρές ταλαντώσεις.

Τύπος περιόδου και συχνότητας εκκρεμούς

Για ένα απλό εκκρεμές στο όριο μικρών γωνιών,

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

και

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

Η περίοδος είναι ο χρόνος για έναν πλήρη κύκλο. Η συχνότητα είναι ο αριθμός των κύκλων ανά δευτερόλεπτο.

Δύο γρήγορα συμπεράσματα:

• Ένα μακρύτερο εκκρεμές έχει μεγαλύτερη περίοδο, άρα ταλαντώνεται πιο αργά.
• Μια μεγαλύτερη τοπική τιμή του $g$ δίνει μικρότερη περίοδο, άρα ταλαντώνεται πιο γρήγορα.

Στο ιδανικό μοντέλο μικρών γωνιών, η περίοδος δεν εξαρτάται από τη μάζα του σώματος.

Λυμένο παράδειγμα: περίοδος και συχνότητα εκκρεμούς 1 m

Έστω ότι ένα απλό εκκρεμές έχει μήκος $L = 1.00\ \mathrm{m}$ και χρησιμοποιούμε $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$. Υπόθεσε ότι η γωνία ταλάντωσης είναι μικρή.

Ξεκινάμε με τον τύπο της περιόδου:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Αντικαθιστούμε τις τιμές:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.8}}$$ $$T \approx 2\pi\sqrt{0.102}$$ $$T \approx 2.01\ \mathrm{s}$$

Άρα μία πλήρης ταλάντωση διαρκεί περίπου $2.01$ δευτερόλεπτα.

Τώρα βρίσκουμε τη συχνότητα:

$$f = \frac{1}{T} \approx \frac{1}{2.01} \approx 0.50\ \mathrm{Hz}$$

Άρα το εκκρεμές ολοκληρώνει περίπου μισό κύκλο ανά δευτερόλεπτο. Αυτή είναι μια καλή τιμή αναφοράς: ένα εκκρεμές $1\ \mathrm{m}$ κοντά στην επιφάνεια της Γης χρειάζεται περίπου $2$ δευτερόλεπτα για κάθε κύκλο.

Συνηθισμένα λάθη στα εκκρεμή

Χρήση του τύπου για μεγάλες ταλαντώσεις

Ο τυπικός τύπος της περιόδου είναι ακριβής μόνο όταν η προσέγγιση μικρών γωνιών είναι καλή. Αν η ταλάντωση είναι μεγάλη, η πραγματική περίοδος είναι μεγαλύτερη από την απλή πρόβλεψη μικρών γωνιών.

Λανθασμένη μέτρηση του μήκους

Για ένα απλό εκκρεμές, το $L$ μετριέται από το σημείο ανάρτησης μέχρι το κέντρο μάζας του σώματος, όχι μόνο μέχρι την κορυφή του σώματος ή μόνο μέχρι το άκρο του νήματος.

Σύγχυση ανάμεσα σε περίοδο και συχνότητα

Η περίοδος είναι χρόνος ανά κύκλο. Η συχνότητα είναι κύκλοι ανά δευτερόλεπτο. Είναι αντίστροφα μεγέθη, οπότε μεγαλύτερη περίοδος σημαίνει μικρότερη συχνότητα.

Υπόθεση ότι κάθε ταλάντωση είναι ΑΑΤ

Η παλινδρομική κίνηση από μόνη της δεν αρκεί. Το εκκρεμές συμπεριφέρεται προσεγγιστικά σαν ΑΑΤ μόνο υπό τη συνθήκη των μικρών γωνιών.

Πού χρησιμοποιείται το μοντέλο του εκκρεμούς

Τα εκκρεμή χρησιμοποιούνται για την εισαγωγή στις ταλαντώσεις, στις δυνάμεις επαναφοράς και στις μεθόδους προσέγγισης στη φυσική. Εμφανίζονται επίσης στην ιστορία της χρονομέτρησης, στους σεισμογράφους και σε σχολικά πειράματα που δείχνουν πώς η περίοδος εξαρτάται από το μήκος.

Είναι ιδιαίτερα χρήσιμα στη διδασκαλία, επειδή ένα σύστημα συνδέει πολλές ιδέες ταυτόχρονα: βαρύτητα, περιοδική κίνηση, γωνιακή απομάκρυνση και ΑΑΤ ως προσέγγιση.

Δοκίμασε να λύσεις ένα παρόμοιο πρόβλημα εκκρεμούς

Άλλαξε το παράδειγμα σε $L = 0.25\ \mathrm{m}$ και υπολόγισε τη νέα περίοδο και συχνότητα. Αυτή η μία αλλαγή δείχνει καθαρά πόσο έντονα εξαρτάται ο χρονισμός από το μήκος.

Αν θέλεις να ελέγξεις τη διαδικασία σου αφού το δοκιμάσεις μόνος σου, το GPAI Solver μπορεί να ακολουθήσει το ίδιο μοντέλο εκκρεμούς βήμα προς βήμα με τους δικούς σου αριθμούς.