Vectơ 2D — Độ lớn, hướng và các phép toán

Vectơ 2D là một cặp số cho biết đồng thời độ thay đổi theo phương ngang và phương dọc. Nếu $v = (3, 4)$, vectơ đi sang phải $3$ đơn vị và đi lên $4$ đơn vị, nên nó có cả độ dài lẫn hướng. Khi hình dung này đã rõ, các khái niệm độ lớn, hướng và phép toán vectơ sẽ trở nên tự nhiên.

Nếu chỉ nhớ một ý, hãy nhớ điều này: vectơ không chỉ là độ dài. Hướng là một phần của đại lượng, nên phép tính phải theo dõi cả hai thành phần.

Vectơ 2D có ý nghĩa gì trong hệ tọa độ

Trên mặt phẳng, một vectơ thường được viết là

$$v = (x, y)$$

Thành phần thứ nhất cho biết độ thay đổi theo phương ngang. Thành phần thứ hai cho biết độ thay đổi theo phương dọc. Bạn có thể xem vectơ như một mũi tên từ gốc tọa độ đến điểm $(x, y)$, hoặc như một chuyển động có cùng độ lớn và hướng bắt đầu từ bất kỳ đâu trên mặt phẳng.

Đó là lý do vectơ hữu ích trong hình học, vật lý và đồ họa. Chúng mô tả các đại lượng như độ dời, vận tốc và lực, nơi hướng quan trọng không kém độ lớn.

Cách tìm độ lớn của vectơ 2D

Trong mặt phẳng Euclid thông thường, độ lớn của $v = (x, y)$ là

$$|v| = \sqrt\{x^2 + y^2\}$$

Công thức này đến trực tiếp từ định lý Pythagore. Độ lớn cho biết vectơ dài bao nhiêu, chứ không cho biết nó chỉ về đâu.

Ví dụ, nếu $v = (3, 4)$, thì

$$|v| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5$$

Vậy vectơ có độ dài $5$. Đây cũng chính là ý tưởng tam giác vuông đứng sau công thức khoảng cách.

Hướng hoạt động như thế nào trong 2D

Hướng trong không gian $2$D thường được mô tả bằng một góc $\theta$ đo từ trục $x$ dương. Nếu vectơ khác không và $x \ne 0$, bạn có thể bắt đầu từ

$$\tan \theta = \frac{y}{x}$$

nhưng đó chỉ là điểm khởi đầu. Bạn vẫn phải chọn góc phù hợp với đúng góc phần tư.

Điều này quan trọng vì $(1, 1)$ và $(-1, -1)$ cho cùng một giá trị tang, nhưng chúng chỉ theo hai hướng ngược nhau. Khi dùng máy tính cầm tay hoặc lập trình, một hàm có xét góc phần tư như $\operatorname{atan2}(y, x)$ thường là cách an toàn hơn để tìm góc.

Vectơ không $(0, 0)$ là một trường hợp đặc biệt. Độ lớn của nó bằng $0$, và nó không có một hướng duy nhất.

Các phép toán vectơ 2D cơ bản

Hầu hết các phép toán cơ bản đều thực hiện theo từng thành phần.

Với phép cộng,

$$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$$

Với phép trừ,

$$(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)$$

Với phép nhân vô hướng,

$$k(a, b) = (ka, kb)$$

Các quy tắc này đơn giản, nhưng ý nghĩa của chúng rất quan trọng. Phép cộng kết hợp hai độ thay đổi có hướng thành một độ thay đổi có hướng mới. Phép trừ so sánh một vectơ với vectơ khác. Phép nhân vô hướng làm thay đổi độ lớn, và nếu $k < 0$, nó còn đảo ngược hướng.

Ví dụ có lời giải về độ lớn, hướng và phép cộng

Cho

$$u = (3, 4), \qquad v = (-1, 2)$$

Bắt đầu với độ lớn của $u$:

$$|u| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5$$

Góc hướng của nó nằm ở góc phần tư I, nên

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ$$

Bây giờ cộng hai vectơ theo từng thành phần:

$$u + v = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)$$

Kết quả là một vectơ khác, không phải một số đơn lẻ. Độ lớn của nó là

$$|u + v| = \sqrt\{2^2 + 6^2\} = \sqrt\{40\} = 2\sqrt\{10\}$$

Điều này cho thấy quy luật chính. Các thành phần cho biết vectơ dịch chuyển như thế nào, độ lớn cho biết độ dài, hướng cho biết góc của nó, và phép cộng tạo ra một vectơ mới với độ dài và hướng riêng.

Những lỗi thường gặp khi làm việc với vectơ 2D

Cộng độ dài thay vì cộng vectơ

$|u| + |v|$ không giống với $|u + v|$. Đây là những đại lượng khác nhau, trừ khi các vectơ cùng chỉ đúng một hướng.

Dùng $\tan^{-1}(y/x)$ mà không kiểm tra góc phần tư

Tỉ số $\frac{y}{x}$ riêng nó không cho biết đầy đủ hướng. Bạn cần xét dấu của cả hai thành phần để đặt góc cho đúng.

Quên mất phép nhân vô hướng làm gì

Nhân với $2$ sẽ làm độ dài gấp đôi. Nhân với $-2$ sẽ làm độ dài gấp đôi và đảo hướng.

Xem vectơ không như một hướng thông thường

Vectơ $(0, 0)$ không có hướng duy nhất, nên cách suy luận dựa trên góc không còn áp dụng giống như các trường hợp khác.

Vectơ 2D được dùng ở đâu

Vectơ 2D xuất hiện bất cứ khi nào chuyển động hoặc sự thay đổi trên mặt phẳng là quan trọng. Những ví dụ quen thuộc gồm độ dời trên bản đồ, vận tốc theo hai phương, lực trên một bề mặt phẳng và chuyển động trong đồ họa máy tính.

Chúng cũng tạo cầu nối rõ ràng đến các chủ đề học sau như tích vô hướng, phép chiếu và tọa độ cực, vì tất cả đều xây dựng trên cùng một ý tưởng về thành phần.

Tự thử một phiên bản của riêng bạn

Hãy thử với $u = (2, -1)$ và $v = (4, 3)$. Tính độ lớn của mỗi vectơ, cộng chúng lại, rồi xác định kết quả chỉ vào góc phần tư nào.

Nếu muốn tiến thêm một bước, hãy giải một bài tương tự trong đó cả hai thành phần đều âm. Đây là cách nhanh để kiểm tra xem bạn có thực sự hiểu hướng hay không, chứ không chỉ hiểu độ lớn.