2D-Vektoren — Betrag, Richtung und Rechenoperationen

Ein 2D-Vektor ist ein Zahlenpaar, das gleichzeitig die horizontale und die vertikale Änderung angibt. Wenn $v = (3, 4)$, geht der Vektor $3$ Einheiten nach rechts und $4$ Einheiten nach oben, hat also sowohl eine Länge als auch eine Richtung. Wenn dieses Bild klar ist, folgen Betrag, Richtung und Vektoroperationen ganz natürlich daraus.

Wenn du dir nur eine Idee merkst, dann diese: Ein Vektor ist nicht nur eine Länge. Die Richtung gehört zur Größe dazu, deshalb muss die Rechnung beide Komponenten berücksichtigen.

Was ein 2D-Vektor in Koordinaten bedeutet

In der Ebene schreibt man einen Vektor meist als

$$v = (x, y)$$

Die erste Komponente gibt die horizontale Änderung an. Die zweite Komponente gibt die vertikale Änderung an. Du kannst dir den Vektor als Pfeil vom Ursprung zum Punkt $(x, y)$ vorstellen oder als Bewegung mit derselben Größe und Richtung, die an jedem beliebigen Punkt der Ebene beginnen kann.

Deshalb sind Vektoren in Geometrie, Physik und Computergrafik so nützlich. Sie beschreiben Größen wie Verschiebung, Geschwindigkeit und Kraft, bei denen die Richtung genauso wichtig ist wie der Betrag.

So bestimmt man den Betrag eines 2D-Vektors

In der üblichen euklidischen Ebene ist der Betrag von $v = (x, y)$

$$|v| = \sqrt\{x^2 + y^2\}$$

Das folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras. Der Betrag sagt dir, wie lang der Vektor ist, nicht wohin er zeigt.

Wenn zum Beispiel $v = (3, 4)$, dann gilt

$$|v| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5$$

Der Vektor hat also die Länge $5$. Das ist dieselbe rechtwinklige Dreiecksidee, die auch hinter der Abstandsformel steckt.

So funktioniert die Richtung in 2D

Die Richtung in $2$D wird oft durch einen Winkel $\theta$ beschrieben, der von der positiven $x$-Achse aus gemessen wird. Wenn der Vektor nicht der Nullvektor ist und $x \ne 0$, kannst du mit

$$\tan \theta = \frac{y}{x}$$

beginnen, aber das ist nur ein Ausgangspunkt. Du musst immer noch den Winkel wählen, der zum richtigen Quadranten passt.

Das ist wichtig, weil $(1, 1)$ und $(-1, -1)$ denselben Tangenswert liefern, aber in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Beim Rechnen mit Taschenrechnern oder in Programmen ist deshalb eine quadrantenabhängige Funktion wie $\operatorname{atan2}(y, x)$ oft der sicherere Weg, den Winkel zu bestimmen.

Der Nullvektor $(0, 0)$ ist ein Sonderfall. Sein Betrag ist $0$, und er hat keine eindeutige Richtung.

Grundlegende Rechenoperationen mit 2D-Vektoren

Die meisten grundlegenden Operationen funktionieren komponentenweise.

Für die Addition gilt

$$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$$

Für die Subtraktion gilt

$$(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)$$

Für die Skalarmultiplikation gilt

$$k(a, b) = (ka, kb)$$

Diese Regeln sind einfach, aber ihre Bedeutung ist wichtig. Die Addition fasst zwei gerichtete Änderungen zu einer neuen gerichteten Änderung zusammen. Die Subtraktion vergleicht einen Vektor mit einem anderen. Die Skalarmultiplikation verändert den Betrag, und wenn $k < 0$, kehrt sie zusätzlich die Richtung um.

Durchgerechnetes Beispiel mit Betrag, Richtung und Addition

Seien

$$u = (3, 4), \qquad v = (-1, 2)$$

Beginnen wir mit dem Betrag von $u$:

$$|u| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5$$

Sein Richtungswinkel liegt im I. Quadranten, also

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ$$

Nun addieren wir die Vektoren komponentenweise:

$$u + v = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)$$

Das Ergebnis ist wieder ein Vektor, keine einzelne Zahl. Sein Betrag ist

$$|u + v| = \sqrt\{2^2 + 6^2\} = \sqrt\{40\} = 2\sqrt\{10\}$$

Das zeigt das Grundmuster. Die Komponenten sagen dir, wie sich der Vektor bewegt, der Betrag gibt seine Länge an, die Richtung seinen Winkel, und die Addition erzeugt einen neuen Vektor mit eigener Länge und eigener Richtung.

Häufige Fehler beim Arbeiten mit 2D-Vektoren

Längen addieren statt Vektoren

$|u| + |v|$ ist nicht dasselbe wie $|u + v|$. Das sind verschiedene Größen, außer wenn die Vektoren genau in dieselbe Richtung zeigen.

$\tan^{-1}(y/x)$ verwenden, ohne den Quadranten zu prüfen

Das Verhältnis $\frac{y}{x}$ allein gibt dir nicht die vollständige Richtung. Du brauchst die Vorzeichen beider Komponenten, um den Winkel richtig einzuordnen.

Vergessen, was Skalarmultiplikation bewirkt

Die Multiplikation mit $2$ verdoppelt die Länge. Die Multiplikation mit $-2$ verdoppelt die Länge und kehrt die Richtung um.

Den Nullvektor wie eine gewöhnliche Richtung behandeln

Der Vektor $(0, 0)$ hat keine eindeutige Richtung, deshalb funktioniert winkelbasiertes Denken dort nicht auf dieselbe Weise.

Wo 2D-Vektoren verwendet werden

2D-Vektoren tauchen immer dann auf, wenn Bewegung oder Änderung in einer Ebene wichtig ist. Typische Beispiele sind Verschiebungen auf einer Karte, Geschwindigkeiten in zwei Richtungen, Kräfte auf einer ebenen Fläche und Bewegungen in der Computergrafik.

Sie bilden auch eine saubere Brücke zu späteren Themen wie Skalarprodukt, Projektionen und Polarkoordinaten, weil all diese auf derselben Komponentenidee aufbauen.

Probiere deine eigene Variante

Probiere deine eigene Variante mit $u = (2, -1)$ und $v = (4, 3)$. Bestimme den Betrag jedes Vektors, addiere sie und entscheide, in welchen Quadranten das Ergebnis zeigt.

Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, löse eine ähnliche Aufgabe, bei der beide Komponenten negativ sind. Das ist ein schneller Test dafür, ob du wirklich die Richtung verstehst und nicht nur den Betrag.