Vectores en 2D — Magnitud, dirección y operaciones

Un vector en 2D es un par de números que te indica el cambio horizontal y el cambio vertical al mismo tiempo. Si $v = (3, 4)$, el vector avanza $3$ unidades a la derecha y $4$ unidades hacia arriba, así que tiene tanto longitud como dirección. Una vez que esa idea está clara, la magnitud, la dirección y las operaciones con vectores se entienden de forma natural.

Si solo recuerdas una idea, recuerda esta: un vector no es solo una longitud. La dirección forma parte de la cantidad, así que la aritmética tiene que tener en cuenta ambas componentes.

Qué significa un vector en 2D en coordenadas

En el plano, un vector suele escribirse como

$$v = (x, y)$$

La primera componente muestra el cambio horizontal. La segunda componente muestra el cambio vertical. Puedes pensar en el vector como una flecha desde el origen hasta el punto $(x, y)$, o como un desplazamiento con el mismo tamaño y dirección que empieza en cualquier lugar del plano.

Por eso los vectores son útiles en geometría, física y gráficos. Describen cantidades como desplazamiento, velocidad y fuerza, donde la dirección importa tanto como el tamaño.

Cómo hallar la magnitud de un vector en 2D

En el plano euclidiano usual, la magnitud de $v = (x, y)$ es

$$|v| = \sqrt\{x^2 + y^2\}$$

Esto se obtiene directamente del teorema de Pitágoras. La magnitud te dice qué tan largo es el vector, no hacia dónde apunta.

Por ejemplo, si $v = (3, 4)$, entonces

$$|v| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5$$

Así que el vector tiene longitud $5$. Esta es la misma idea de triángulo rectángulo que aparece en la fórmula de la distancia.

Cómo funciona la dirección en 2D

La dirección en $2$D suele describirse mediante un ángulo $\theta$ medido desde el eje $x$ positivo. Si el vector no es cero y $x \ne 0$, puedes empezar con

$$\tan \theta = \frac{y}{x}$$

pero eso es solo un punto de partida. Aún tienes que elegir el ángulo que corresponda al cuadrante correcto.

Esa condición importa porque $(1, 1)$ y $(-1, -1)$ dan el mismo valor de tangente, pero apuntan en direcciones opuestas. En calculadoras o en programación, una función que tenga en cuenta el cuadrante, como $\operatorname{atan2}(y, x)$, suele ser la forma más segura de hallar el ángulo.

El vector cero $(0, 0)$ es un caso especial. Su magnitud es $0$, y no tiene una única dirección.

Operaciones básicas con vectores en 2D

La mayoría de las operaciones básicas se hacen componente a componente.

Para la suma,

$$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$$

Para la resta,

$$(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)$$

Para la multiplicación por un escalar,

$$k(a, b) = (ka, kb)$$

Estas reglas son simples, pero su significado importa. La suma combina dos cambios dirigidos en un nuevo cambio dirigido. La resta compara un vector con otro. La multiplicación por un escalar cambia el tamaño y, si $k < 0$, también invierte la dirección.

Ejemplo resuelto con magnitud, dirección y suma

Sea

$$u = (3, 4), \qquad v = (-1, 2)$$

Empecemos con la magnitud de $u$:

$$|u| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5$$

Su ángulo de dirección está en el cuadrante I, así que

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ$$

Ahora suma los vectores componente a componente:

$$u + v = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)$$

El resultado es otro vector, no un solo número. Su magnitud es

$$|u + v| = \sqrt\{2^2 + 6^2\} = \sqrt\{40\} = 2\sqrt\{10\}$$

Esto muestra el patrón principal. Las componentes te dicen cómo se mueve el vector, la magnitud da su longitud, la dirección da su ángulo, y la suma crea un nuevo vector con su propia longitud y dirección.

Errores comunes al trabajar con vectores en 2D

Sumar longitudes en lugar de vectores

$|u| + |v|$ no es lo mismo que $|u + v|$. Son cantidades distintas, salvo que los vectores apunten exactamente en la misma dirección.

Usar $\tan^{-1}(y/x)$ sin comprobar el cuadrante

La razón $\frac{y}{x}$ por sí sola no te da la dirección completa. Necesitas los signos de ambas componentes para ubicar correctamente el ángulo.

Olvidar qué hace la multiplicación por un escalar

Multiplicar por $2$ duplica la longitud. Multiplicar por $-2$ duplica la longitud e invierte la dirección.

Tratar el vector cero como una dirección ordinaria

El vector $(0, 0)$ no tiene una dirección única, así que el razonamiento basado en ángulos no funciona igual en ese caso.

Dónde se usan los vectores en 2D

Los vectores en 2D aparecen siempre que importa el movimiento o el cambio en un plano. Algunos ejemplos comunes son el desplazamiento en un mapa, la velocidad en dos direcciones, las fuerzas sobre una superficie plana y el movimiento en gráficos por computadora.

También sirven como un puente claro hacia temas posteriores como producto punto, proyecciones y coordenadas polares, porque todos se basan en la misma idea de componentes.

Prueba tu propia versión

Prueba tu propia versión con $u = (2, -1)$ y $v = (4, 3)$. Halla la magnitud de cada vector, súmalos y decide hacia qué cuadrante apunta el resultado.

Si quieres ir un paso más allá, resuelve un problema parecido en el que ambas componentes sean negativas. Es una forma rápida de comprobar si realmente entiendes la dirección, y no solo la magnitud.