Vecteurs en 2D — norme, direction et opérations

Un vecteur en 2D est une paire de nombres qui indique en même temps un changement horizontal et un changement vertical. Si $v = (3, 4)$, le vecteur va de $3$ unités vers la droite et de $4$ unités vers le haut ; il a donc à la fois une longueur et une direction. Une fois cette image bien comprise, la norme, la direction et les opérations sur les vecteurs en découlent naturellement.

Si vous ne devez retenir qu’une seule idée, retenez celle-ci : un vecteur n’est pas seulement une longueur. La direction fait partie de la grandeur, donc les calculs doivent tenir compte des deux composantes.

Ce que signifie un vecteur en 2D dans un repère

Dans le plan, un vecteur s’écrit généralement

$$v = (x, y)$$

La première composante indique le changement horizontal. La seconde composante indique le changement vertical. Vous pouvez voir le vecteur comme une flèche allant de l’origine au point $(x, y)$, ou comme un déplacement de même taille et de même direction partant de n’importe quel point du plan.

C’est pour cela que les vecteurs sont utiles en géométrie, en physique et en infographie. Ils décrivent des grandeurs comme le déplacement, la vitesse et la force, où la direction compte autant que la taille.

Comment trouver la norme d’un vecteur en 2D

Dans le plan euclidien usuel, la norme de $v = (x, y)$ est

$$|v| = \sqrt\{x^2 + y^2\}$$

Cela vient directement du théorème de Pythagore. La norme indique la longueur du vecteur, pas la direction vers laquelle il pointe.

Par exemple, si $v = (3, 4)$, alors

$$|v| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5$$

Le vecteur a donc pour longueur $5$. C’est la même idée de triangle rectangle que dans la formule de distance.

Comment fonctionne la direction en 2D

En dimension $2$, la direction est souvent décrite par un angle $\theta$ mesuré à partir de l’axe des $x$ positif. Si le vecteur est non nul et si $x \ne 0$, on peut partir de

$$\tan \theta = \frac{y}{x}$$

mais ce n’est qu’un point de départ. Il faut encore choisir l’angle qui correspond au bon quadrant.

Cette condition est importante, car $(1, 1)$ et $(-1, -1)$ donnent la même valeur de tangente, mais pointent dans des directions opposées. Sur une calculatrice ou en programmation, une fonction tenant compte du quadrant comme $\operatorname{atan2}(y, x)$ est souvent plus sûre pour trouver l’angle.

Le vecteur nul $(0, 0)$ est un cas particulier. Sa norme vaut $0$, et il n’a pas de direction unique.

Opérations de base sur les vecteurs en 2D

La plupart des opérations de base se font composante par composante.

Pour l’addition,

$$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$$

Pour la soustraction,

$$(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)$$

Pour la multiplication par un scalaire,

$$k(a, b) = (ka, kb)$$

Ces règles sont simples, mais leur sens est important. L’addition combine deux changements orientés en un nouveau changement orienté. La soustraction compare un vecteur à un autre. La multiplication par un scalaire change la taille et, si $k < 0$, elle inverse aussi la direction.

Exemple détaillé avec norme, direction et addition

Soit

$$u = (3, 4), \qquad v = (-1, 2)$$

Commençons par la norme de $u$ :

$$|u| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5$$

Son angle de direction est dans le premier quadrant, donc

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ$$

Additionnons maintenant les vecteurs composante par composante :

$$u + v = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)$$

Le résultat est un autre vecteur, pas un seul nombre. Sa norme est

$$|u + v| = \sqrt\{2^2 + 6^2\} = \sqrt\{40\} = 2\sqrt\{10\}$$

Cela montre le schéma principal. Les composantes indiquent comment le vecteur se déplace, la norme donne sa longueur, la direction donne son angle, et l’addition crée un nouveau vecteur avec sa propre longueur et sa propre direction.

Erreurs fréquentes avec les vecteurs en 2D

Additionner les longueurs au lieu des vecteurs

$|u| + |v|$ n’est pas la même chose que $|u + v|$. Ce sont des grandeurs différentes, sauf si les vecteurs pointent exactement dans la même direction.

Utiliser $\tan^{-1}(y/x)$ sans vérifier le quadrant

Le rapport $\frac{y}{x}$ ne suffit pas, à lui seul, à donner la direction complète. Il faut les signes des deux composantes pour placer correctement l’angle.

Oublier ce que fait la multiplication par un scalaire

Multiplier par $2$ double la longueur. Multiplier par $-2$ double la longueur et inverse la direction.

Traiter le vecteur nul comme une direction ordinaire

Le vecteur $(0, 0)$ n’a pas de direction unique, donc un raisonnement fondé sur les angles ne fonctionne pas de la même manière dans ce cas.

Où les vecteurs en 2D sont utilisés

Les vecteurs en 2D apparaissent dès qu’un mouvement ou un changement dans un plan compte. Parmi les exemples courants, on trouve le déplacement sur une carte, la vitesse selon deux directions, les forces sur une surface plane et les mouvements en infographie.

Ils offrent aussi une transition claire vers des notions vues plus tard, comme le produit scalaire, les projections et les coordonnées polaires, car toutes reposent sur la même idée de composantes.

Essayez votre propre version

Essayez avec $u = (2, -1)$ et $v = (4, 3)$. Trouvez la norme de chaque vecteur, additionnez-les, puis déterminez dans quel quadrant pointe le résultat.

Si vous voulez aller un peu plus loin, résolvez un problème similaire où les deux composantes sont négatives. C’est un moyen rapide de vérifier si vous comprenez vraiment la direction, et pas seulement la norme.