2차원 벡터 — 크기, 방향과 연산

2차원 벡터는 가로 변화와 세로 변화를 동시에 알려 주는 두 수의 짝입니다. 예를 들어 $v = (3, 4)$이면 이 벡터는 오른쪽으로 $3$, 위로 $4$만큼 이동하므로 길이와 방향을 모두 가집니다. 이 그림이 분명해지면 크기, 방향, 벡터 연산도 자연스럽게 이해할 수 있습니다.

한 가지만 기억해야 한다면 이것입니다. 벡터는 단순한 길이가 아닙니다. 방향도 양의 일부이므로, 계산할 때는 두 성분을 모두 추적해야 합니다.

좌표에서 2차원 벡터의 의미

평면에서 벡터는 보통 다음과 같이 씁니다.

$$v = (x, y)$$

첫 번째 성분은 가로 방향의 변화를 나타냅니다. 두 번째 성분은 세로 방향의 변화를 나타냅니다. 벡터를 원점에서 점 $(x, y)$까지 향하는 화살표로 생각해도 되고, 평면의 어느 위치에서 시작하더라도 같은 크기와 방향을 가진 이동으로 생각해도 됩니다.

그래서 벡터는 기하, 물리, 그래픽스에서 유용합니다. 변위, 속도, 힘처럼 크기만큼 방향도 중요한 양을 나타내기 때문입니다.

2차원 벡터의 크기 구하는 법

보통의 유클리드 평면에서 $v = (x, y)$의 크기는 다음과 같습니다.

$$|v| = \sqrt\{x^2 + y^2\}$$

이 식은 피타고라스 정리에서 바로 나옵니다. 크기는 벡터가 얼마나 긴지를 알려 주며, 어느 방향을 가리키는지는 알려 주지 않습니다.

예를 들어 $v = (3, 4)$라면

$$|v| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5$$

따라서 이 벡터의 길이는 $5$입니다. 이는 거리 공식의 바탕이 되는 직각삼각형 아이디어와 같습니다.

2차원에서 방향은 어떻게 나타낼까

$2$차원에서 방향은 보통 양의 $x$축에서 잰 각 $\theta$로 나타냅니다. 벡터가 영벡터가 아니고 $x \ne 0$이면, 다음 식에서 시작할 수 있습니다.

$$\tan \theta = \frac{y}{x}$$

하지만 이것은 출발점일 뿐입니다. 실제로는 올바른 사분면에 맞는 각을 골라야 합니다.

이 조건이 중요한 이유는 $(1, 1)$과 $(-1, -1)$이 같은 탄젠트값을 주지만, 서로 반대 방향을 가리키기 때문입니다. 계산기나 프로그래밍에서는 $\operatorname{atan2}(y, x)$처럼 사분면을 고려하는 함수를 쓰는 것이 더 안전한 경우가 많습니다.

영벡터 $(0, 0)$는 특별한 경우입니다. 크기는 $0$이지만, 하나로 정해지는 방향은 없습니다.

기본적인 2차원 벡터 연산

대부분의 기본 연산은 성분별로 합니다.

덧셈은

$$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$$

뺄셈은

$$(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)$$

스칼라배는

$$k(a, b) = (ka, kb)$$

이 규칙들은 단순하지만 의미가 중요합니다. 덧셈은 두 방향 있는 변화를 하나의 새로운 방향 있는 변화로 합칩니다. 뺄셈은 한 벡터를 다른 벡터와 비교합니다. 스칼라배는 크기를 바꾸고, $k < 0$이면 방향도 반대로 바뀝니다.

크기, 방향, 덧셈을 함께 보는 예제

다음을 생각해 봅시다.

$$u = (3, 4), \qquad v = (-1, 2)$$

먼저 $u$의 크기를 구하면

$$|u| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5$$

방향각은 제1사분면에 있으므로

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ$$

이제 벡터를 성분별로 더하면

$$u + v = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)$$

결과는 하나의 수가 아니라 또 다른 벡터입니다. 그 크기는

$$|u + v| = \sqrt\{2^2 + 6^2\} = \sqrt\{40\} = 2\sqrt\{10\}$$

이 예제는 핵심 패턴을 보여 줍니다. 성분은 벡터가 어떻게 움직이는지를 알려 주고, 크기는 길이를, 방향은 각도를 나타내며, 덧셈은 자신만의 길이와 방향을 가진 새로운 벡터를 만듭니다.

2차원 벡터를 다룰 때 흔한 실수

벡터가 아니라 길이를 더하는 경우

$|u| + |v|$는 $|u + v|$와 같지 않습니다. 두 벡터가 정확히 같은 방향을 가리킬 때가 아니면 서로 다른 양입니다.

사분면을 확인하지 않고 $\tan^{-1}(y/x)$를 쓰는 경우

비율 $\frac{y}{x}$만으로는 전체 방향을 알 수 없습니다. 각을 올바르게 정하려면 두 성분의 부호를 모두 봐야 합니다.

스칼라배의 의미를 잊는 경우

$2$를 곱하면 길이가 두 배가 됩니다. $-2$를 곱하면 길이가 두 배가 되고 방향은 반대로 바뀝니다.

영벡터를 보통의 방향처럼 다루는 경우

벡터 $(0, 0)$는 하나로 정해지는 방향이 없으므로, 각도를 이용한 해석이 같은 방식으로 적용되지 않습니다.

2차원 벡터는 어디에 쓰일까

2차원 벡터는 평면에서의 움직임이나 변화가 중요할 때마다 등장합니다. 대표적인 예로는 지도에서의 변위, 두 방향으로의 속도, 평평한 면 위의 힘, 컴퓨터 그래픽스에서의 이동이 있습니다.

또한 내적, 정사영, 극좌표 같은 다음 주제로 자연스럽게 이어지는 다리 역할도 합니다. 이 주제들은 모두 같은 성분 개념 위에 세워져 있기 때문입니다.

직접 해보기

이제 $u = (2, -1)$, $v = (4, 3)$으로 직접 해보세요. 각 벡터의 크기를 구하고, 둘을 더한 뒤, 결과가 어느 사분면을 가리키는지 판단해 보세요.

한 단계 더 나아가고 싶다면 두 성분이 모두 음수인 비슷한 문제도 풀어 보세요. 그러면 크기뿐 아니라 방향까지 정말 이해했는지 빠르게 확인할 수 있습니다.