Wektory 2D — długość, kierunek i działania

Wektor 2D to para liczb, która jednocześnie mówi o zmianie poziomej i pionowej. Jeśli $v = (3, 4)$, to wektor przesuwa o $3$ jednostki w prawo i o $4$ jednostki w górę, więc ma zarówno długość, jak i kierunek. Gdy ten obraz jest jasny, długość, kierunek i działania na wektorach wynikają z niego naturalnie.

Jeśli masz zapamiętać tylko jedną rzecz, niech będzie to ta: wektor to nie tylko długość. Kierunek jest częścią tej wielkości, więc działania muszą uwzględniać obie składowe.

Co oznacza wektor 2D we współrzędnych

Na płaszczyźnie wektor zapisuje się zwykle jako

$$v = (x, y)$$

Pierwsza składowa pokazuje zmianę poziomą. Druga składowa pokazuje zmianę pionową. Możesz myśleć o wektorze jak o strzałce od początku układu do punktu $(x, y)$ albo jak o przesunięciu o tym samym rozmiarze i kierunku, zaczynającym się w dowolnym miejscu płaszczyzny.

Właśnie dlatego wektory są przydatne w geometrii, fizyce i grafice. Opisują wielkości takie jak przemieszczenie, prędkość i siła, gdzie kierunek jest tak samo ważny jak wartość.

Jak obliczyć długość wektora 2D

W zwykłej płaszczyźnie euklidesowej długość wektora $v = (x, y)$ wynosi

$$|v| = \sqrt\{x^2 + y^2\}$$

Wynika to bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa. Długość mówi, jak długi jest wektor, a nie dokąd jest skierowany.

Na przykład, jeśli $v = (3, 4)$, to

$$|v| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5$$

Zatem wektor ma długość $5$. To ta sama idea trójkąta prostokątnego, która stoi za wzorem na odległość.

Jak działa kierunek w 2D

Kierunek w $2$D często opisuje się kątem $\theta$ mierzonym od dodatniej osi $x$. Jeśli wektor jest niezerowy i $x \ne 0$, możesz zacząć od

$$\tan \theta = \frac{y}{x}$$

ale to tylko punkt wyjścia. Nadal trzeba wybrać kąt odpowiadający właściwej ćwiartce.

To ważne, ponieważ $(1, 1)$ i $(-1, -1)$ dają tę samą wartość tangensa, ale wskazują przeciwne kierunki. Przy korzystaniu z kalkulatora lub w programowaniu bezpieczniej jest często użyć funkcji uwzględniającej ćwiartkę, takiej jak $\operatorname{atan2}(y, x)$.

Wektor zerowy $(0, 0)$ jest przypadkiem szczególnym. Jego długość wynosi $0$ i nie ma on jednego unikalnego kierunku.

Podstawowe działania na wektorach 2D

Większość podstawowych działań wykonuje się składowa po składowej.

Dla dodawania,

$$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$$

Dla odejmowania,

$$(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)$$

Dla mnożenia przez skalar,

$$k(a, b) = (ka, kb)$$

Te reguły są proste, ale ich znaczenie jest ważne. Dodawanie łączy dwie skierowane zmiany w jedną nową skierowaną zmianę. Odejmowanie porównuje jeden wektor z drugim. Mnożenie przez skalar zmienia rozmiar, a jeśli $k < 0$, to dodatkowo odwraca kierunek.

Przykład z długością, kierunkiem i dodawaniem

Niech

$$u = (3, 4), \qquad v = (-1, 2)$$

Zacznijmy od długości wektora $u$:

$$|u| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5$$

Jego kąt kierunku leży w I ćwiartce, więc

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ$$

Teraz dodajmy wektory składowa po składowej:

$$u + v = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)$$

Wynik to kolejny wektor, a nie pojedyncza liczba. Jego długość wynosi

$$|u + v| = \sqrt\{2^2 + 6^2\} = \sqrt\{40\} = 2\sqrt\{10\}$$

To pokazuje główny schemat. Składowe mówią, jak porusza się wektor, długość podaje jego rozmiar, kierunek określa jego kąt, a dodawanie tworzy nowy wektor z własną długością i kierunkiem.

Typowe błędy przy pracy z wektorami 2D

Dodawanie długości zamiast wektorów

$|u| + |v|$ to nie to samo co $|u + v|$. Są to różne wielkości, chyba że wektory mają dokładnie ten sam kierunek.

Używanie $\tan^{-1}(y/x)$ bez sprawdzenia ćwiartki

Sam iloraz $\frac{y}{x}$ nie mówi wszystkiego o kierunku. Trzeba uwzględnić znaki obu składowych, aby poprawnie umieścić kąt.

Zapominanie, co robi mnożenie przez skalar

Mnożenie przez $2$ podwaja długość. Mnożenie przez $-2$ podwaja długość i odwraca kierunek.

Traktowanie wektora zerowego jak zwykłego kierunku

Wektor $(0, 0)$ nie ma jednego unikalnego kierunku, więc rozumowanie oparte na kątach nie działa tu tak samo.

Gdzie używa się wektorów 2D

Wektory 2D pojawiają się wszędzie tam, gdzie liczy się ruch lub zmiana na płaszczyźnie. Typowe przykłady to przemieszczenie na mapie, prędkość w dwóch kierunkach, siły działające na płaskiej powierzchni oraz ruch w grafice komputerowej.

Stanowią też dobre wprowadzenie do późniejszych tematów, takich jak iloczyn skalarny, rzuty i współrzędne biegunowe, ponieważ wszystkie opierają się na tej samej idei składowych.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj samodzielnie dla $u = (2, -1)$ i $v = (4, 3)$. Oblicz długość każdego wektora, dodaj je i zdecyduj, w którą ćwiartkę skierowany jest wynik.

Jeśli chcesz pójść o krok dalej, rozwiąż podobne zadanie, w którym obie składowe są ujemne. To szybki sposób, by sprawdzić, czy naprawdę rozumiesz kierunek, a nie tylko długość.