Διανύσματα 2D — Μέτρο, Κατεύθυνση και Πράξεις

Ένα διάνυσμα 2D είναι ένα ζεύγος αριθμών που σου δείχνει ταυτόχρονα την οριζόντια και την κατακόρυφη μεταβολή. Αν $v = (3, 4)$, το διάνυσμα πηγαίνει $3$ μονάδες δεξιά και $4$ μονάδες πάνω, άρα έχει και μήκος και κατεύθυνση. Μόλις αυτή η εικόνα γίνει ξεκάθαρη, το μέτρο, η κατεύθυνση και οι πράξεις με διανύσματα προκύπτουν φυσικά.

Αν θυμάσαι μόνο μία ιδέα, να θυμάσαι αυτή: ένα διάνυσμα δεν είναι μόνο ένα μήκος. Η κατεύθυνση είναι μέρος του μεγέθους, οπότε οι πράξεις πρέπει να παρακολουθούν και τις δύο συνιστώσες.

Τι σημαίνει ένα διάνυσμα 2D σε συντεταγμένες

Στο επίπεδο, ένα διάνυσμα συνήθως γράφεται ως

$$v = (x, y)$$

Η πρώτη συνιστώσα δείχνει την οριζόντια μεταβολή. Η δεύτερη συνιστώσα δείχνει την κατακόρυφη μεταβολή. Μπορείς να σκεφτείς το διάνυσμα ως ένα βέλος από την αρχή των αξόνων προς το σημείο $(x, y)$ ή ως μια μετατόπιση με το ίδιο μέγεθος και την ίδια κατεύθυνση που ξεκινά από οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου.

Γι’ αυτό τα διανύσματα είναι χρήσιμα στη γεωμετρία, στη φυσική και στα γραφικά. Περιγράφουν μεγέθη όπως η μετατόπιση, η ταχύτητα και η δύναμη, όπου η κατεύθυνση έχει τόση σημασία όση και το μέγεθος.

Πώς να βρεις το μέτρο ενός διανύσματος 2D

Στο συνηθισμένο ευκλείδειο επίπεδο, το μέτρο του $v = (x, y)$ είναι

$$|v| = \sqrt\{x^2 + y^2\}$$

Αυτό προκύπτει άμεσα από το Πυθαγόρειο θεώρημα. Το μέτρο σου λέει πόσο μακρύ είναι το διάνυσμα, όχι προς τα πού δείχνει.

Για παράδειγμα, αν $v = (3, 4)$, τότε

$$|v| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5$$

Άρα το διάνυσμα έχει μήκος $5$. Είναι η ίδια ιδέα του ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται πίσω από τον τύπο της απόστασης.

Πώς λειτουργεί η κατεύθυνση στο 2D

Η κατεύθυνση στο $2$D συχνά περιγράφεται με μια γωνία $\theta$ που μετριέται από τον θετικό άξονα $x$. Αν το διάνυσμα είναι μη μηδενικό και $x \ne 0$, μπορείς να ξεκινήσεις από

$$\tan \theta = \frac{y}{x}$$

αλλά αυτό είναι μόνο η αρχή. Πρέπει ακόμη να επιλέξεις τη γωνία που αντιστοιχεί στο σωστό τεταρτημόριο.

Αυτό έχει σημασία, γιατί τα $(1, 1)$ και $(-1, -1)$ δίνουν την ίδια τιμή εφαπτομένης, αλλά δείχνουν σε αντίθετες κατευθύνσεις. Σε αριθμομηχανές ή σε προγραμματιστικά περιβάλλοντα, μια συνάρτηση που λαμβάνει υπόψη το τεταρτημόριο, όπως η $\operatorname{atan2}(y, x)$, είναι συχνά ο ασφαλέστερος τρόπος για να βρεις τη γωνία.

Το μηδενικό διάνυσμα $(0, 0)$ είναι ειδική περίπτωση. Το μέτρο του είναι $0$, και δεν έχει μία μοναδική κατεύθυνση.

Βασικές πράξεις με διανύσματα 2D

Οι περισσότερες βασικές πράξεις γίνονται συνιστώσα προς συνιστώσα.

Για την πρόσθεση,

$$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$$

Για την αφαίρεση,

$$(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)$$

Για τον πολλαπλασιασμό με βαθμωτό,

$$k(a, b) = (ka, kb)$$

Αυτοί οι κανόνες είναι απλοί, αλλά η σημασία τους είναι σημαντική. Η πρόσθεση συνδυάζει δύο κατευθυνόμενες μεταβολές σε μία νέα κατευθυνόμενη μεταβολή. Η αφαίρεση συγκρίνει ένα διάνυσμα με ένα άλλο. Ο πολλαπλασιασμός με βαθμωτό αλλάζει το μέγεθος και, αν $k < 0$, αντιστρέφει επίσης την κατεύθυνση.

Λυμένο παράδειγμα με μέτρο, κατεύθυνση και πρόσθεση

Έστω

$$u = (3, 4), \qquad v = (-1, 2)$$

Ξεκίνα με το μέτρο του $u$:

$$|u| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5$$

Η γωνία κατεύθυνσής του βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, άρα

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ$$

Τώρα πρόσθεσε τα διανύσματα συνιστώσα προς συνιστώσα:

$$u + v = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)$$

Το αποτέλεσμα είναι ένα άλλο διάνυσμα, όχι ένας μόνο αριθμός. Το μέτρο του είναι

$$|u + v| = \sqrt\{2^2 + 6^2\} = \sqrt\{40\} = 2\sqrt\{10\}$$

Αυτό δείχνει το βασικό μοτίβο. Οι συνιστώσες σου λένε πώς κινείται το διάνυσμα, το μέτρο δίνει το μήκος του, η κατεύθυνση δίνει τη γωνία του και η πρόσθεση δημιουργεί ένα νέο διάνυσμα με δικό του μήκος και δική του κατεύθυνση.

Συνηθισμένα λάθη όταν δουλεύεις με διανύσματα 2D

Πρόσθεση μηκών αντί για διανύσματα

$|u| + |v|$ δεν είναι το ίδιο με $|u + v|$. Αυτά είναι διαφορετικά μεγέθη, εκτός αν τα διανύσματα δείχνουν ακριβώς προς την ίδια κατεύθυνση.

Χρήση του $\tan^{-1}(y/x)$ χωρίς έλεγχο του τεταρτημορίου

Ο λόγος $\frac{y}{x}$ από μόνος του δεν σου δίνει ολόκληρη την κατεύθυνση. Χρειάζεσαι τα πρόσημα και των δύο συνιστωσών για να τοποθετήσεις σωστά τη γωνία.

Ξεχνάς τι κάνει ο πολλαπλασιασμός με βαθμωτό

Ο πολλαπλασιασμός με $2$ διπλασιάζει το μήκος. Ο πολλαπλασιασμός με $-2$ διπλασιάζει το μήκος και αντιστρέφει την κατεύθυνση.

Αντιμετωπίζεις το μηδενικό διάνυσμα σαν συνηθισμένη κατεύθυνση

Το διάνυσμα $(0, 0)$ δεν έχει μοναδική κατεύθυνση, οπότε ο συλλογισμός με βάση τη γωνία δεν λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο εκεί.

Πού χρησιμοποιούνται τα διανύσματα 2D

Τα διανύσματα 2D εμφανίζονται κάθε φορά που η κίνηση ή η μεταβολή σε ένα επίπεδο έχει σημασία. Συνηθισμένα παραδείγματα είναι η μετατόπιση σε έναν χάρτη, η ταχύτητα σε δύο κατευθύνσεις, οι δυνάμεις σε μια επίπεδη επιφάνεια και η κίνηση στα γραφικά υπολογιστών.

Επίσης, αποτελούν μια καθαρή γέφυρα προς επόμενα θέματα όπως το εσωτερικό γινόμενο, οι προβολές και οι πολικές συντεταγμένες, γιατί όλα αυτά βασίζονται στην ίδια ιδέα των συνιστωσών.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με $u = (2, -1)$ και $v = (4, 3)$. Βρες το μέτρο κάθε διανύσματος, πρόσθεσέ τα και αποφάσισε σε ποιο τεταρτημόριο δείχνει το αποτέλεσμα.

Αν θέλεις να πας ένα βήμα παραπέρα, λύσε ένα παρόμοιο πρόβλημα όπου και οι δύο συνιστώσες είναι αρνητικές. Είναι ένας γρήγορος τρόπος να ελέγξεις αν καταλαβαίνεις πραγματικά την κατεύθυνση και όχι μόνο το μέτρο.