เวกเตอร์ 2 มิติ — ขนาด ทิศทาง และการดำเนินการ

เวกเตอร์ 2 มิติคือคู่ของจำนวนที่บอกการเปลี่ยนแปลงในแนวนอนและแนวตั้งพร้อมกัน ถ้า $v = (3, 4)$ เวกเตอร์นี้จะไปทางขวา $3$ หน่วย และขึ้นด้านบน $4$ หน่วย จึงมีทั้งความยาวและทิศทาง เมื่อเห็นภาพนี้ชัดแล้ว เรื่องขนาด ทิศทาง และการดำเนินการกับเวกเตอร์ก็จะตามมาอย่างเป็นธรรมชาติ

ถ้าจะจำเพียงแนวคิดเดียว ให้จำข้อนี้ไว้: เวกเตอร์ไม่ได้มีแค่ความยาว ทิศทางเป็นส่วนหนึ่งของปริมาณนี้ด้วย ดังนั้นการคำนวณจึงต้องติดตามทั้งสององค์ประกอบ

เวกเตอร์ 2 มิติในพิกัดหมายถึงอะไร

บนระนาบ เวกเตอร์มักเขียนเป็น

$$v = (x, y)$$

องค์ประกอบตัวแรกแสดงการเปลี่ยนแปลงในแนวนอน องค์ประกอบตัวที่สองแสดงการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้ง คุณอาจมองเวกเตอร์เป็นลูกศรจากจุดกำเนิดไปยังจุด $(x, y)$ หรือมองเป็นการเคลื่อนที่ที่มีขนาดและทิศทางเดียวกันซึ่งเริ่มจากตำแหน่งใดก็ได้บนระนาบ

นี่จึงเป็นเหตุผลที่เวกเตอร์มีประโยชน์ในเรขาคณิต ฟิสิกส์ และกราฟิก เพราะใช้บรรยายปริมาณอย่างการกระจัด ความเร็ว และแรง ซึ่งทิศทางสำคัญพอ ๆ กับขนาด

วิธีหาขนาดของเวกเตอร์ 2 มิติ

ในระนาบแบบยุคลิดทั่วไป ขนาดของ $v = (x, y)$ คือ

$$|v| = \sqrt\{x^2 + y^2\}$$

สูตรนี้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยตรง ขนาดบอกว่าเวกเตอร์ยาวเท่าไร ไม่ได้บอกว่าชี้ไปทางไหน

ตัวอย่างเช่น ถ้า $v = (3, 4)$ จะได้ว่า

$$|v| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5$$

ดังนั้นเวกเตอร์นี้มีความยาว $5$ ซึ่งเป็นแนวคิดสามเหลี่ยมมุมฉากเดียวกับที่ใช้ในสูตรระยะทาง

ทิศทางใน 2 มิติทำงานอย่างไร

ทิศทางใน $2$ มิติมักอธิบายด้วยมุม $\theta$ ที่วัดจากแกน $x$ บวก ถ้าเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์และ $x \ne 0$ คุณอาจเริ่มจาก

$$\tan \theta = \frac{y}{x}$$

แต่นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นเท่านั้น คุณยังต้องเลือกมุมที่ตรงกับควอดแรนต์ที่ถูกต้อง

เงื่อนไขนี้สำคัญ เพราะ $(1, 1)$ และ $(-1, -1)$ ให้ค่าแทนเจนต์เท่ากัน แต่ชี้ไปคนละทิศทาง ในการใช้เครื่องคิดเลขหรือการเขียนโปรแกรม ฟังก์ชันที่คำนึงถึงควอดแรนต์ เช่น $\operatorname{atan2}(y, x)$ มักเป็นวิธีที่ปลอดภัยกว่าในการหามุม

เวกเตอร์ศูนย์ $(0, 0)$ เป็นกรณีพิเศษ ขนาดของมันคือ $0$ และไม่มีทิศทางที่เป็นเอกลักษณ์เพียงหนึ่งเดียว

การดำเนินการพื้นฐานของเวกเตอร์ 2 มิติ

การดำเนินการพื้นฐานส่วนใหญ่ทำทีละองค์ประกอบ

สำหรับการบวก

$$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$$

สำหรับการลบ

$$(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)$$

สำหรับการคูณด้วยสเกลาร์

$$k(a, b) = (ka, kb)$$

กฎเหล่านี้เรียบง่าย แต่ความหมายสำคัญมาก การบวกคือการรวมการเปลี่ยนแปลงที่มีทิศทางสองตัวให้เป็นการเปลี่ยนแปลงใหม่หนึ่งตัว การลบคือการเปรียบเทียบเวกเตอร์หนึ่งกับอีกเวกเตอร์หนึ่ง การคูณสเกลาร์เปลี่ยนขนาด และถ้า $k < 0$ ก็จะกลับทิศทางด้วย

ตัวอย่างคำนวณขนาด ทิศทาง และการบวก

ให้

$$u = (3, 4), \qquad v = (-1, 2)$$

เริ่มจากหาขนาดของ $u$:

$$|u| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5$$

มุมทิศทางของมันอยู่ในควอดแรนต์ที่ I ดังนั้น

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ$$

ตอนนี้บวกเวกเตอร์ทีละองค์ประกอบ:

$$u + v = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)$$

ผลลัพธ์คือเวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง ไม่ใช่จำนวนเพียงตัวเดียว ขนาดของมันคือ

$$|u + v| = \sqrt\{2^2 + 6^2\} = \sqrt\{40\} = 2\sqrt\{10\}$$

นี่แสดงรูปแบบหลักของเรื่องนี้ องค์ประกอบบอกว่าเวกเตอร์เคลื่อนที่อย่างไร ขนาดบอกความยาว ทิศทางบอกมุม และการบวกจะสร้างเวกเตอร์ใหม่ที่มีทั้งความยาวและทิศทางของตัวเอง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อทำงานกับเวกเตอร์ 2 มิติ

บวกความยาวแทนที่จะบวกเวกเตอร์

$|u| + |v|$ ไม่เหมือนกับ $|u + v|$ ปริมาณสองอย่างนี้ต่างกัน เว้นแต่ว่าเวกเตอร์จะชี้ไปในทิศทางเดียวกันทุกประการ

ใช้ $\tan^{-1}(y/x)$ โดยไม่ตรวจสอบควอดแรนต์

อัตราส่วน $\frac{y}{x}$ เพียงอย่างเดียวไม่สามารถบอกทิศทางทั้งหมดได้ คุณต้องดูเครื่องหมายของทั้งสององค์ประกอบเพื่อวางมุมให้ถูกต้อง

ลืมว่าการคูณสเกลาร์ทำอะไร

การคูณด้วย $2$ ทำให้ความยาวเพิ่มเป็นสองเท่า การคูณด้วย $-2$ ทำให้ความยาวเพิ่มเป็นสองเท่าและกลับทิศทาง

มองเวกเตอร์ศูนย์เหมือนเป็นทิศทางทั่วไป

เวกเตอร์ $(0, 0)$ ไม่มีทิศทางที่เป็นเอกลักษณ์ ดังนั้นการให้เหตุผลด้วยมุมจึงใช้แบบเดียวกันไม่ได้

เวกเตอร์ 2 มิติถูกใช้ที่ไหน

เวกเตอร์ 2 มิติปรากฏทุกครั้งที่การเคลื่อนที่หรือการเปลี่ยนแปลงบนระนาบมีความสำคัญ ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ การกระจัดบนแผนที่ ความเร็วในสองทิศทาง แรงบนพื้นผิวราบ และการเคลื่อนที่ในคอมพิวเตอร์กราฟิก

นอกจากนี้ยังเป็นสะพานที่ดีไปสู่หัวข้อถัดไป เช่น dot product การฉายเวกเตอร์ และพิกัดเชิงขั้ว เพราะทั้งหมดนี้ต่อยอดจากแนวคิดเรื่ององค์ประกอบเดียวกัน

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้ $u = (2, -1)$ และ $v = (4, 3)$ หาขนาดของเวกเตอร์แต่ละตัว บวกมันเข้าด้วยกัน แล้วตัดสินว่าผลลัพธ์ชี้ไปยังควอดแรนต์ใด

ถ้าต้องการก้าวไปอีกขั้น ลองแก้โจทย์คล้ายกันที่ทั้งสององค์ประกอบเป็นลบ นี่เป็นวิธีเร็ว ๆ ในการทดสอบว่าคุณเข้าใจเรื่องทิศทางจริง ๆ ไม่ใช่แค่เรื่องขนาด