Vektor 2D — Besar, Arah, dan Operasi

Vektor 2D adalah sepasang bilangan yang memberi tahu perubahan horizontal dan perubahan vertikal pada saat yang sama. Jika $v = (3, 4)$, vektor tersebut bergerak $3$ satuan ke kanan dan $4$ satuan ke atas, sehingga memiliki panjang dan arah. Setelah gambaran ini jelas, besar, arah, dan operasi vektor akan mengikuti secara alami.

Jika Anda hanya mengingat satu gagasan, ingat ini: vektor bukan sekadar panjang. Arah adalah bagian dari besaran itu, jadi perhitungannya harus melacak kedua komponennya.

Apa arti vektor 2D dalam koordinat

Pada bidang, vektor biasanya ditulis sebagai

$$v = (x, y)$$

Komponen pertama menunjukkan perubahan horizontal. Komponen kedua menunjukkan perubahan vertikal. Anda dapat membayangkan vektor sebagai panah dari titik asal ke titik $(x, y)$, atau sebagai perpindahan dengan besar dan arah yang sama yang dimulai dari mana saja pada bidang.

Itulah sebabnya vektor berguna dalam geometri, fisika, dan grafika. Vektor menggambarkan besaran seperti perpindahan, kecepatan, dan gaya, ketika arah sama pentingnya dengan besar.

Cara mencari besar vektor 2D

Pada bidang Euclid biasa, besar vektor $v = (x, y)$ adalah

$$|v| = \sqrt\{x^2 + y^2\}$$

Rumus ini langsung berasal dari teorema Pythagoras. Besar vektor memberi tahu seberapa panjang vektor itu, bukan ke mana arahnya.

Sebagai contoh, jika $v = (3, 4)$, maka

$$|v| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5$$

Jadi vektor tersebut memiliki panjang $5$. Ini adalah gagasan segitiga siku-siku yang sama di balik rumus jarak.

Cara kerja arah dalam 2D

Arah dalam $2$D sering dinyatakan dengan sudut $\theta$ yang diukur dari sumbu $x$ positif. Jika vektor tidak nol dan $x \ne 0$, Anda dapat mulai dari

$$\tan \theta = \frac{y}{x}$$

tetapi itu hanya titik awal. Anda tetap harus memilih sudut yang sesuai dengan kuadran yang benar.

Kondisi itu penting karena $(1, 1)$ dan $(-1, -1)$ menghasilkan nilai tangen yang sama, tetapi arahnya berlawanan. Dalam kalkulator atau pemrograman, fungsi yang memperhatikan kuadran seperti $\operatorname{atan2}(y, x)$ sering menjadi cara yang lebih aman untuk mencari sudut.

Vektor nol $(0, 0)$ adalah kasus khusus. Besarnya adalah $0$, dan vektor ini tidak memiliki satu arah yang unik.

Operasi dasar vektor 2D

Sebagian besar operasi dasar dilakukan per komponen.

Untuk penjumlahan,

$$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$$

Untuk pengurangan,

$$(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)$$

Untuk perkalian skalar,

$$k(a, b) = (ka, kb)$$

Aturan-aturan ini sederhana, tetapi maknanya penting. Penjumlahan menggabungkan dua perubahan berarah menjadi satu perubahan berarah yang baru. Pengurangan membandingkan satu vektor dengan vektor lain. Perkalian skalar mengubah besar, dan jika $k < 0$, arahnya juga dibalik.

Contoh kerja dengan besar, arah, dan penjumlahan

Misalkan

$$u = (3, 4), \qquad v = (-1, 2)$$

Mulailah dengan besar dari $u$:

$$|u| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = 5$$

Sudut arahnya berada di Kuadran I, jadi

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ$$

Sekarang jumlahkan vektor-vektor tersebut per komponen:

$$u + v = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)$$

Hasilnya adalah vektor lain, bukan satu bilangan tunggal. Besarnya adalah

$$|u + v| = \sqrt\{2^2 + 6^2\} = \sqrt\{40\} = 2\sqrt\{10\}$$

Ini menunjukkan pola utamanya. Komponen memberi tahu bagaimana vektor bergerak, besar memberi panjangnya, arah memberi sudutnya, dan penjumlahan menghasilkan vektor baru dengan panjang dan arah tersendiri.

Kesalahan umum saat bekerja dengan vektor 2D

Menjumlahkan panjang, bukan vektornya

$|u| + |v|$ tidak sama dengan $|u + v|$. Keduanya adalah besaran yang berbeda kecuali jika vektor-vektor itu mengarah tepat ke arah yang sama.

Menggunakan $\tan^{-1}(y/x)$ tanpa memeriksa kuadran

Rasio $\frac{y}{x}$ saja tidak memberi tahu arah secara lengkap. Anda memerlukan tanda dari kedua komponen untuk menempatkan sudut dengan benar.

Lupa apa yang dilakukan perkalian skalar

Mengalikan dengan $2$ menggandakan panjang. Mengalikan dengan $-2$ menggandakan panjang dan membalik arah.

Memperlakukan vektor nol seperti arah biasa

Vektor $(0, 0)$ tidak memiliki arah yang unik, jadi penalaran berbasis sudut tidak bekerja dengan cara yang sama di sana.

Di mana vektor 2D digunakan

Vektor 2D muncul setiap kali gerak atau perubahan pada bidang penting. Contoh umum meliputi perpindahan pada peta, kecepatan dalam dua arah, gaya pada permukaan datar, dan gerakan dalam grafika komputer.

Vektor juga menjadi jembatan yang rapi ke topik lanjutan seperti hasil kali titik, proyeksi, dan koordinat polar, karena semuanya dibangun di atas gagasan komponen yang sama.

Coba versi Anda sendiri

Coba versi Anda sendiri dengan $u = (2, -1)$ dan $v = (4, 3)$. Cari besar masing-masing vektor, jumlahkan keduanya, lalu tentukan hasilnya mengarah ke kuadran mana.

Jika Anda ingin melangkah sedikit lebih jauh, selesaikan soal serupa ketika kedua komponennya bernilai negatif. Itu adalah cara cepat untuk menguji apakah Anda benar-benar memahami arah, bukan hanya besar.