Phân phối chuẩn — Đường cong hình chuông, z-score và công thức

Phân phối chuẩn là một mô hình xác suất có dạng hình chuông, trong đó các giá trị gần trung bình xuất hiện phổ biến nhất và các giá trị càng xa thì càng ít gặp hơn theo cách đối xứng. Nếu bạn đang cố hiểu đường cong hình chuông, z-score hoặc công thức phân phối chuẩn, ý chính rất đơn giản: giá trị trung bình xác định tâm, còn độ lệch chuẩn xác định độ phân tán.

Mô hình này chỉ hữu ích khi dạng chuẩn là một cách khớp hợp lý với dữ liệu hoặc tình huống. Khi điều kiện đó đúng, bạn có thể ước lượng các khoảng điển hình, so sánh giá trị bằng z-score và diễn giải mức độ bất thường của một kết quả.

Đường cong hình chuông có ý nghĩa gì

Nếu một biến tuân theo phân phối chuẩn, các giá trị gần trung bình sẽ phổ biến hơn các giá trị ở xa. Hai phía trái và phải phản chiếu nhau, nên việc nằm cao hơn trung bình $2$ độ lệch chuẩn cũng bất thường như việc nằm thấp hơn trung bình $2$ độ lệch chuẩn.

Bạn sẽ thường thấy ký hiệu

$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$

Điều này có nghĩa là biến ngẫu nhiên $X$ được mô hình hóa bằng phân phối chuẩn với trung bình $\mu$ và phương sai $\sigma^2$. Vì phương sai là $\sigma^2$, nên độ lệch chuẩn là $\sigma$, với $\sigma > 0$.

Công thức phân phối chuẩn, giải thích đơn giản

Công thức mật độ chuẩn là

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$$

Bạn không cần phải ghi nhớ mọi phần của công thức để dùng tốt ý tưởng này. Điều quan trọng nhất là $\mu$ dịch chuyển đường cong sang trái hoặc phải, còn $\sigma$ làm nó hẹp hơn hoặc rộng hơn.

Công thức này mô tả mật độ, không phải xác suất của một giá trị chính xác. Với mô hình liên tục, xác suất đến từ các khoảng như $P(X < 80)$ hoặc $P(65 \le X \le 85)$.

Trung bình, độ lệch chuẩn và z-score liên hệ với nhau như thế nào

Thay đổi giá trị trung bình sẽ dịch chuyển đường cong sang trái hoặc phải. Thay đổi độ lệch chuẩn sẽ làm đường cong hẹp hơn hoặc rộng hơn. $\sigma$ nhỏ nghĩa là các giá trị tập trung chặt quanh trung bình. $\sigma$ lớn hơn nghĩa là chúng phân tán rộng hơn.

Để so sánh một giá trị với phần còn lại của phân phối, hãy dùng z-score:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Chỉ số này cho biết vị trí tương đối theo đơn vị độ lệch chuẩn. Nếu $z = 1.5$, giá trị đó cao hơn trung bình $1.5$ độ lệch chuẩn. Nếu $z = -2$, nó thấp hơn trung bình $2$ độ lệch chuẩn.

Với mô hình chuẩn, một cách tắt thực tế là quy tắc thực nghiệm:

$$\text{about } 68\% \text{ of values lie within } \mu \pm \sigma$$ $$\text{about } 95\% \text{ of values lie within } \mu \pm 2\sigma$$ $$\text{about } 99.7\% \text{ of values lie within } \mu \pm 3\sigma$$

Chỉ dùng quy tắc này khi mô hình chuẩn thực sự là hợp lý. Đây là một phép gần đúng hữu ích, không phải bảo đảm cho mọi bộ dữ liệu thực tế.

Ví dụ có lời giải với z-score và đường cong hình chuông

Giả sử điểm thi được mô hình hóa bởi

$$X \sim N(70, 10^2)$$

Vậy điểm trung bình là $70$ và độ lệch chuẩn là $10$.

Trước hết, dùng quy tắc thực nghiệm. Khoảng $68\%$ số điểm sẽ nằm trong phạm vi một độ lệch chuẩn quanh trung bình:

$$70 \pm 10$$

Vậy khoảng nhanh là

$$60 \text{ to } 80$$

Khoảng $95\%$ số điểm sẽ nằm trong phạm vi hai độ lệch chuẩn:

$$70 \pm 2(10) = 70 \pm 20$$

Vậy khoảng đó là

$$50 \text{ to } 90$$

Bây giờ xét một học sinh đạt $85$ điểm. Z-score là

$$z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5$$

Điều đó có nghĩa là điểm số này cao hơn trung bình $1.5$ độ lệch chuẩn. Đây là cách đọc nhanh hữu ích nhất: điểm này rõ ràng cao hơn mức trung bình, nhưng chưa quá xa về phía đuôi phân phối.

Những lỗi thường gặp khi làm bài về phân phối chuẩn

Xem mọi đồ thị hình chuông đều là phân phối chuẩn

Một số dữ liệu bị lệch, có đuôi dày hoặc có nhiều đỉnh. Trong những trường hợp đó, mô hình chuẩn có thể khớp kém dù đồ thị trông khá tròn.

Nhầm lẫn giữa mật độ và xác suất

Công thức $f(x)$ không phải là xác suất để $X$ bằng đúng một số cụ thể. Với phân phối liên tục, xác suất tại một điểm chính xác bằng $0$, nên bạn phải làm việc với các khoảng.

Dùng quy tắc thực nghiệm mà không kiểm tra mô hình

Quy tắc $68$-$95$-$99.7$ thuộc về phân phối chuẩn. Không nên tự động áp dụng nó cho mọi bộ dữ liệu.

Nhầm giữa phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai là $\sigma^2$. Z-score dùng $\sigma$, không phải $\sigma^2$.

Khi nào phân phối chuẩn được sử dụng

Phân phối chuẩn xuất hiện thường xuyên khi các phép đo tập trung quanh một giá trị trung tâm và các giá trị cực đoan tương đối hiếm. Nó phổ biến trong các mô hình sai số đo lường, diễn giải điểm kiểm tra, kiểm soát chất lượng và trong nghiên cứu các giá trị trung bình mẫu.

Điều đó không có nghĩa là mọi dữ liệu thực tế đều chuẩn. Nó có nghĩa là mô hình chuẩn là một phép gần đúng hữu ích khi hình dạng, bối cảnh và các giả định khiến phép gần đúng đó trở nên hợp lý.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy đổi ví dụ thành $X \sim N(100, 15^2)$ và tính z-score của $130$. Sau đó tìm khoảng bao phủ khoảng $95\%$ giá trị. Tự thử một phiên bản của riêng bạn với trung bình hoặc độ lệch chuẩn khác là cách tốt để thấy đường cong hình chuông thay đổi như thế nào.