Hyperbol - Phương trình, tiệm cận và tính chất

Hyperbol là một đường cong có hai nhánh mở. Trong hình học tọa độ, cách nhanh nhất để nhận ra nó là phương trình chuẩn có một hạng tử bình phương bị trừ khỏi một hạng tử bình phương khác.

Với hyperbol có trục song song với các trục tọa độ và tâm tại $(h, k)$, hai dạng chuẩn thường gặp là

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

và

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

Dạng thứ nhất mở sang trái và phải. Dạng thứ hai mở lên trên và xuống dưới.

Quy tắc đọc nhanh là: tâm lấy từ $(h, k)$, hạng tử dương cho biết hướng mở, và các đường tiệm cận cho biết hướng mà các nhánh tiến tới.

Hyperbol là gì

Về mặt hình học, hyperbol có thể được định nghĩa là tập hợp các điểm sao cho hiệu tuyệt đối khoảng cách từ mỗi điểm đến hai điểm cố định, gọi là các tiêu điểm, là không đổi.

Định nghĩa đó giải thích vì sao đồ thị có hai nhánh thay vì một vòng kín. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán đại số và tiền giải tích, bạn thường làm việc từ phương trình vì cách này giúp đọc đồ thị nhanh hơn nhiều.

Cách đọc phương trình hyperbol

Nếu phương trình là

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

thì với hyperbol có trục song song với các trục tọa độ, ta có:

• Tâm: $(h, k)$
• Hướng mở: trái-phải
• Đỉnh: $(h \pm a, k)$
• Đường tiệm cận: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Nếu phương trình là

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

thì:

• Tâm: $(h, k)$
• Hướng mở: lên-xuống
• Đỉnh: $(h, k \pm a)$
• Đường tiệm cận: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$

Với các dạng chuẩn có trục song song với các trục tọa độ này, các tiêu điểm nằm xa tâm hơn các đỉnh, và các khoảng cách thỏa mãn

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Chỉ dùng các công thức này cho hyperbol có trục song song với các trục tọa độ ở dạng chuẩn. Nếu phương trình có thêm hạng tử khác hoặc bị quay, bạn cần xử lý thêm trước khi đọc đồ thị theo cách này.

Các đường tiệm cận cho bạn biết điều gì

Các đường tiệm cận là những đường thẳng định hướng cho các nhánh. Chúng không phải là những chi tiết phụ ngẫu nhiên. Chúng cho biết hướng đi của đồ thị khi ra xa.

Gần tâm, đường cong uốn lệch khỏi các đường tiệm cận. Càng xa tâm, mỗi nhánh càng tiến gần đến chúng. Vì vậy, các đường tiệm cận là một trong những cách nhanh nhất để phác họa hyperbol chính xác.

Ví dụ có lời giải: đọc đồ thị từ phương trình

Xét

$$\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$$

Đây là dạng chuẩn theo phương ngang, nên hyperbol mở sang trái và phải.

Tâm là $(2, -1)$ vì $(x - 2)$ tịnh tiến sang phải $2$ đơn vị và $(y + 1)$ tịnh tiến xuống dưới $1$ đơn vị.

Từ các mẫu số,

$$a^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad a = 4$$

và

$$b^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad b = 3$$

Vậy các đỉnh là

$$(2 \pm 4, -1)$$

suy ra

$$(6, -1) \text{ và } (-2, -1)$$

Các đường tiệm cận có hệ số góc $\pm b/a = \pm 3/4$ và đi qua tâm:

$$y + 1 = \pm \frac{3}{4}(x - 2)$$

Nếu bạn cũng muốn tìm các tiêu điểm, dùng $c^2 = a^2 + b^2$:

$$c^2 = 16 + 9 = 25 \quad \Rightarrow \quad c = 5$$

Vậy các tiêu điểm là

$$(2 \pm 5, -1)$$

hay $(7, -1)$ và $(-3, -1)$.

Như vậy là đủ để phác đồ thị hoàn chỉnh: vẽ tâm, đánh dấu các đỉnh, vẽ các đường tiệm cận đi qua tâm, rồi vẽ hai nhánh đi xa khỏi tâm đồng thời tiến gần đến các đường đó.

Những lỗi thường gặp với hyperbol

1. Quên rằng hyperbol có phép trừ trong dạng chuẩn. Nếu các hạng tử bình phương được cộng với nhau, đó là elip chứ không phải hyperbol.
2. Nhầm lẫn giữa $a^2$ và $b^2$. Trong các dạng chuẩn này, $a^2$ gắn với hạng tử dương.
3. Dùng sai hệ số góc của tiệm cận. Với hyperbol ngang, các hệ số góc là $\pm b/a$. Với hyperbol đứng, chúng là $\pm a/b$.
4. Đọc sai dấu của tâm. Một hạng tử như $(x + 2)^2$ có nghĩa là hoành độ tâm bằng $-2$.

Hyperbol được dùng ở đâu

Bạn sẽ gặp hyperbol trong phần các đường conic, hình học giải tích và mô hình hóa bằng tọa độ. Nó cũng xuất hiện khi một bài toán được xác định bởi hiệu khoảng cách không đổi đến hai điểm cố định.

Với đa số học sinh, cách dùng thực tế đơn giản hơn: nếu bạn xác định được tâm, hướng mở, các đỉnh và các đường tiệm cận, bạn có thể vẽ nhanh các dạng chuẩn và tránh những lỗi kiểm tra thường gặp nhất.

Thử một bài tương tự

Hãy thử phác họa

$$\frac{(y - 3)^2}{25} - \frac{(x + 1)^2}{4} = 1$$

Trước tiên hãy tìm tâm và xác định xem các nhánh mở lên-xuống hay trái-phải. Sau đó viết các đỉnh và các đường tiệm cận. Nếu muốn làm thêm một bước, hãy tìm hiểu một đường conic khác và so sánh hyperbol khác elip như thế nào.