Ứng dụng của đạo hàm — Cực đại, cực tiểu và tốc độ thay đổi

Ứng dụng của đạo hàm thường quy về hai ý chính: dùng $f'(x)$ để đo tốc độ thay đổi tức thời, và dùng $f'(x)$ để tìm nơi một đại lượng đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Nếu bài toán hỏi một đại lượng đang thay đổi nhanh đến mức nào ngay lúc này, hoặc khi nào một giá trị là cao nhất hay thấp nhất, thì đạo hàm thường là công cụ bạn cần.

Có một điều kiện quan trọng ngay từ đầu: nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tuyệt đối trên một đoạn đóng, bạn phải so sánh các điểm tới hạn và các đầu mút. Chỉ kiểm tra những điểm mà $f'(x)=0$ là chưa đủ.

Đạo hàm được dùng để làm gì

Đạo hàm $f'(x)$ cho biết đầu ra thay đổi như thế nào khi đầu vào thay đổi tại một điểm cụ thể. Ý tưởng duy nhất đó xuất hiện trong nhiều dạng bài quen thuộc của giải tích.

• Trên đồ thị, nó cho hệ số góc của tiếp tuyến.
• Trong chuyển động, nó có thể cho vận tốc là tốc độ thay đổi của vị trí.
• Trong tối ưu, nó giúp xác định nơi một đại lượng ngừng tăng và bắt đầu giảm, hoặc ngược lại.

Ngữ cảnh có thể khác nhau trong hình học, vật lý, kinh tế học và kỹ thuật, nhưng câu hỏi cốt lõi vẫn giống nhau: một đại lượng phản ứng thế nào khi một đại lượng khác thay đổi?

Đạo hàm giúp bạn tìm cực đại và cực tiểu như thế nào

Cực đại địa phương là điểm mà giá trị của hàm số lớn hơn các giá trị lân cận. Cực tiểu địa phương là điểm mà giá trị của hàm số nhỏ hơn các giá trị lân cận. Những điểm này thường xuất hiện tại các điểm tới hạn, tức là các điểm mà $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không tồn tại trong khi $f(x)$ vẫn xác định.

Vì sao $f'(x)=0$ lại quan trọng? Vì tại một điểm đổi hướng trơn, tiếp tuyến nằm ngang nên hệ số góc bằng $0$.

Tuy vậy, không phải mọi điểm tới hạn đều là cực trị. Một hàm số có thể phẳng ra trong chốc lát rồi vẫn tiếp tục đi theo cùng một hướng tổng thể. Vì thế, bạn thường cần kiểm tra xem $f'(x)$ có đổi dấu quanh điểm đó hay không:

• từ dương sang âm: cực đại địa phương
• từ âm sang dương: cực tiểu địa phương

Nếu hàm số khả vi hai lần gần điểm đó, đạo hàm bậc hai cũng có thể giúp ích:

• $f''(x) < 0$ cho thấy đồ thị lõm xuống tại đó, nên điểm ấy là cực đại địa phương
• $f''(x) > 0$ cho thấy đồ thị lõm lên tại đó, nên điểm ấy là cực tiểu địa phương

Cách dùng đạo hàm bậc hai như một lối tắt chỉ hữu ích khi nó tồn tại và khác $0$ tại điểm tới hạn. Nếu $f''(x)=0$, bạn cần một phép kiểm tra khác.

Ví dụ giải sẵn: dùng đạo hàm để tìm độ cao lớn nhất

Giả sử độ cao của một quả bóng được mô hình hóa bởi

$$h(t) = -5t^2 + 20t + 2$$

trong đó $h$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giây. Kiểu mô hình này chỉ có ý nghĩa trên khoảng thời gian mà quả bóng thực sự còn đang bay.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số

$$h'(t) = -10t + 20$$

Đạo hàm này là tốc độ thay đổi tức thời của độ cao theo thời gian. Trong ngữ cảnh này, nó là vận tốc theo phương thẳng đứng, tính bằng mét trên giây.

Bước 2: Tìm khi nào tốc độ thay đổi bằng không

Cho đạo hàm bằng không:

$$-10t + 20 = 0$$ $$t = 2$$

Tại $t=2$, vận tốc theo phương thẳng đứng bằng $0$. Điều đó khiến nó trở thành một ứng viên cho cực đại hoặc cực tiểu.

Bước 3: Kiểm tra đó là cực đại hay cực tiểu

Trước $t=2$, đạo hàm dương nên độ cao đang tăng. Sau $t=2$, đạo hàm âm nên độ cao đang giảm.

Sự đổi dấu đó cho thấy quả bóng đạt độ cao lớn nhất tại $t=2$.

Bước 4: Tính giá trị của hàm số ban đầu

Thay $t=2$ vào hàm số ban đầu:

$$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$$

Vậy độ cao lớn nhất là $22$ mét.

Ví dụ này cho thấy đồng thời cả hai ứng dụng chính:

• $h'(t)$ cho một tốc độ thay đổi
• đặt $h'(t)=0$ giúp tìm thời điểm độ cao là lớn nhất

Những lỗi thường gặp trong ứng dụng của đạo hàm

1. Xem mọi nghiệm của $f'(x)=0$ đều là cực đại hoặc cực tiểu mà không kiểm tra điều gì xảy ra xung quanh nó.
2. Quên các đầu mút khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tuyệt đối trên một đoạn đóng.
3. Nhầm lẫn giữa hàm số ban đầu và đạo hàm của nó. Đạo hàm có thể cho bạn biết cực trị xảy ra ở đâu, nhưng giá trị cực đại hoặc cực tiểu thực sự phải lấy từ hàm số ban đầu.
4. Bỏ qua đơn vị. Nếu vị trí tính bằng mét và thời gian tính bằng giây, thì đạo hàm có đơn vị là mét trên giây.
5. Dùng mô hình ngoài khoảng mà nó còn có ý nghĩa vật lý.

Ứng dụng của đạo hàm được dùng ở đâu

Trong giải tích nhập môn, đạo hàm được dùng để phác họa đồ thị, tìm tiếp tuyến, mô tả chuyển động và giải bài toán tối ưu. Trong khoa học và kỹ thuật, chúng mô tả các hệ đang biến đổi như vận tốc, gia tốc, truyền nhiệt, dòng điện hoặc tăng trưởng. Trong kinh tế học, chúng có thể mô tả chi phí cận biên hoặc doanh thu cận biên, vốn cũng là các tốc độ thay đổi.

Thử một bài toán đạo hàm tương tự

Hãy thử phiên bản của riêng bạn với

$$f(x) = -2x^2 + 8x + 3.$$

Hãy tìm $f'(x)$, xác định điểm tới hạn, quyết định đó là cực đại hay cực tiểu, rồi tính giá trị của hàm số tại đó. Nếu bạn muốn khám phá một trường hợp khác sau đó, trang về tốc độ liên hệ cho thấy cùng một ý tưởng về đạo hàm hoạt động như thế nào khi hai đại lượng đang thay đổi có liên hệ với nhau.