เรขาคณิตวิเคราะห์ — จุด เส้นตรง และระยะทาง

เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่นำจุดมาแสดงบนระนาบพิกัด และศึกษาความสัมพันธ์ของเส้นตรงกับรูปทรงด้วยพีชคณิต จุดหนึ่งจุดเขียนเป็น $(x, y)$ โดยที่ $x$ บอกตำแหน่งในแนวนอน และ $y$ บอกตำแหน่งในแนวตั้ง จากพิกัดเหล่านี้ คุณสามารถหาความชัน ระยะทาง จุดกึ่งกลาง และสมการของเส้นตรงได้

แนวคิดหลักนั้นง่ายมาก: เมื่อเขียนรูปทรงให้อยู่ในรูปพิกัดแล้ว ปัญหาเรขาคณิตจะกลายเป็นปัญหาการคำนวณ นี่จึงเป็นเหตุผลที่เรขาคณิตวิเคราะห์ถูกใช้บ่อยมากในพีชคณิต เรขาคณิต และโจทย์ที่เกี่ยวกับกราฟ

พื้นฐานเรขาคณิตวิเคราะห์: จุด ความชัน ระยะทาง และจุดกึ่งกลาง

ระนาบพิกัดมีแกนตั้งฉากกันสองแกน คือแกน $x$ และแกน $y$ จุดอย่าง $(3, -2)$ หมายถึงเลื่อนไปทางขวา $3$ หน่วย และเลื่อนลง $2$ หน่วยจากจุดกำเนิด

ถ้ากำหนดจุดมาสองจุด ปริมาณหลักที่คุณหาได้มีดังนี้:

$$\text{slope } m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อ $x_2 \ne x_1$ ถ้า $x_2 = x_1$ เส้นตรงจะเป็นเส้นตั้ง และความชันจะไม่กำหนด

$$\text{distance } d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

สูตรนี้ให้ความยาวเส้นตรงระหว่างสองจุดบนระนาบ

$$\text{midpoint } M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

สูตรนี้ให้จุดที่อยู่กึ่งกลางระหว่างปลายทั้งสองจุด

ถ้าเส้นตรงไม่ใช่เส้นตั้ง คุณสามารถเขียนสมการของเส้นตรงด้วยรูปแบบ point-slope ได้ดังนี้:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

ทำไมเรขาคณิตวิเคราะห์จึงใช้ได้ผล

เรขาคณิตวิเคราะห์มีประโยชน์เพราะการเปลี่ยนแปลงในแนวนอนและแนวตั้งอ่านได้ง่าย การเปลี่ยนแปลงของ $x$ บอกว่าคุณเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวาเท่าไร การเปลี่ยนแปลงของ $y$ บอกว่าคุณเลื่อนขึ้นหรือลงเท่าไร

ความชันเปรียบเทียบการเปลี่ยนแปลงสองอย่างนี้ ระยะทางรวมทั้งสองอย่างให้เป็นความยาวเส้นตรงเพียงค่าเดียว จุดกึ่งกลางใช้ค่าเฉลี่ยของทั้งสองเพื่อหาตำแหน่งตรงกลาง คำถามเหล่านี้ต่างกัน แต่ทั้งหมดมาจากพิกัดคู่เดียวกัน

ตัวอย่างทำโจทย์: หาความชัน ระยะทาง จุดกึ่งกลาง และสมการเส้นตรง

พิจารณาจุด $A(1, 2)$ และ $B(5, 6)$

เริ่มจากหาความชัน:

$$m = \frac{6 - 2}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1$$

ดังนั้นเส้นตรงนี้จะสูงขึ้น $1$ หน่วย ทุกครั้งที่เลื่อนไปทางขวา $1$ หน่วย

ต่อไปหาระยะทาง:

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$$ $$d = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

ต่อไปหาจุดกึ่งกลาง:

$$M = \left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (3, 4)$$

สุดท้ายเขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านสองจุดนี้ เนื่องจากความชันเป็น $1$ ให้ใช้รูปแบบ point-slope กับจุด $(1, 2)$:

$$y - 2 = 1(x - 1)$$

ซึ่งจัดรูปได้เป็น

$$y = x + 1$$

จากจุดเพียงคู่เดียว ตอนนี้คุณรู้ทั้งความชันของเส้นตรง ความยาวของส่วนของเส้นตรง จุดกึ่งกลางระหว่างปลายทั้งสอง และสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านั้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในเรขาคณิตวิเคราะห์

ข้อผิดพลาดอย่างหนึ่งคือสลับลำดับการลบ ถ้าคุณใช้ $y_2 - y_1$ เป็นตัวเศษในการหาความชัน ก็ต้องใช้ $x_2 - x_1$ เป็นตัวส่วนในลำดับเดียวกัน

อีกข้อผิดพลาดคือคิดว่าความชันของเส้นตั้งมีค่าเป็น $0$ จริง ๆ แล้วเส้นนอนมีความชันเป็น $0$ ส่วนเส้นตั้งมีความชันไม่กำหนด เพราะตัวส่วนกลายเป็น $0$

นักเรียนมักลืมด้วยว่าสูตรระยะทางต้องมีเครื่องหมายรากที่ตอนท้าย ถ้าไม่มีราก คุณจะได้ $d^2$ ไม่ใช่ $d$

อีกเรื่องที่พบบ่อยคือพยายามเขียนทุกเส้นตรงให้อยู่ในรูป $y = mx + b$ รูปแบบนี้ใช้ได้เฉพาะกับเส้นที่ไม่เป็นเส้นตั้งเท่านั้น ถ้าเป็นเส้นตั้ง ต้องเขียนเป็น $x = a$ สำหรับค่าคงที่บางค่า $a$

เรขาคณิตวิเคราะห์ใช้เมื่อไร

เรขาคณิตวิเคราะห์พบได้ในเรขาคณิตระดับโรงเรียน พีชคณิต การเขียนกราฟ การพิสูจน์เชิงวิเคราะห์ และฟิสิกส์เบื้องต้น โดยเฉพาะเมื่อรูปภาพหรือแผนภาพจะง่ายขึ้นหลังจากเปลี่ยนให้อยู่ในรูปพิกัด

การใช้งานทั่วไป ได้แก่ การตรวจว่าจุดหลายจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือไม่ การหาความยาวด้านของรูปบนตารางพิกัด การพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมเป็นมุมฉากด้วยระยะทางหรือความชัน และการเขียนสมการของเส้นตรงและวงกลม

ลองทำโจทย์เรขาคณิตวิเคราะห์ที่คล้ายกัน

เลือกจุดใหม่สองจุด แล้วคำนวณความชัน ระยะทาง จุดกึ่งกลาง และสมการเส้นตรง ถ้าจุดทั้งสองมีพิกัด $x$ เท่ากัน ให้สังเกตว่าวิธีจะเปลี่ยนไปอย่างไร: ความชันจะไม่กำหนด และสมการของเส้นตรงจะเป็นเส้นตั้ง

ถ้าต้องการไปอีกขั้น ให้ลองแก้โจทย์แบบเดียวกันด้วยจุดคู่อื่น แล้วเปรียบเทียบวิธีทำของคุณกับ Distance Formula หรือ How to Find Slope นี่เป็นวิธีที่ใช้ได้จริงในการตรวจสอบว่าสูตรกับกราฟเล่าเรื่องเดียวกันหรือไม่