การหารสังเคราะห์

การหารสังเคราะห์เป็นวิธีลัดสำหรับการหารพหุนามด้วยตัวหารเชิงเส้นที่อยู่ในรูป $x-c$ คุณใช้ค่าสัมประสิทธิ์แทนการเขียนการหารพหุนามแบบยาวทั้งหมด จึงทำได้เร็วกว่าเมื่อ ตัวหารมีรูปแบบนี้พอดี

เงื่อนไขนี้สำคัญ การหารสังเคราะห์แบบมาตรฐานใช้ได้กับตัวหารอย่าง $x-2$ หรือ $x+5$ เพราะจริง ๆ แล้วอยู่ในรูป $x-c$ ถ้าตัวหารไม่ได้อยู่ในรูปนี้ อย่าฝืนใช้วิธีลัด

การหารสังเคราะห์ใช้ได้เมื่อไร

ใช้การหารสังเคราะห์เมื่อตัวหารเป็นเชิงเส้นและเขียนได้ในรูป $x-c$ ซึ่งรวมถึง $x-2$, $x+3$ และ $x-\frac{1}{2}$

ถ้าตัวหารเป็น $2x-3$ การตั้งแบบปกติจะใช้ตรง ๆ ไม่ได้ ในกรณีนั้นให้ใช้การหารพหุนามแบบยาว หรือแปลงโจทย์อย่างระมัดระวัง

ตัวเลขแต่ละตัวหมายถึงอะไร

สมมติว่าคุณหารพหุนาม $P(x)$ ด้วย $x-c$ การหารสังเคราะห์จะเปลี่ยนปัญหานี้ให้เป็นขั้นตอนคูณแล้วบวกซ้ำ ๆ โดยใช้จำนวน $c$ และค่าสัมประสิทธิ์ของ $P(x)$

ตัวเลขตัวสุดท้ายคือเศษ ตัวเลขทุกตัวก่อนหน้านั้นคือค่าสัมประสิทธิ์ของผลหาร ตามทฤษฎีบทเศษเหลือ ตัวเลขตัวสุดท้ายนั้นก็คือ $P(c)$ ด้วย

วิธีทำการหารสังเคราะห์

การตั้งทำมีดังนี้:

1. เขียนจำนวน $c$ ไว้ทางซ้าย
2. เขียนค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามเรียงตามกำลังของ $x$ จากมากไปน้อย
3. ใส่ศูนย์สำหรับกำลังที่หายไปทุกตัว
4. ดึงค่าสัมประสิทธิ์ตัวแรกลงมา
5. คูณด้วย $c$ เขียนผลลัพธ์ไว้ใต้ค่าสัมประสิทธิ์ตัวถัดไป แล้วบวก
6. ทำซ้ำไปเรื่อย ๆ จนถึงท้ายสุด

ถ้าพจน์ใดหายไป ศูนย์นั้นไม่ใช่สิ่งที่ละได้ เพราะมันช่วยให้แต่ละกำลังเรียงตรงกันอย่างถูกต้อง

ตัวอย่างการหารสังเคราะห์

หาร $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ ด้วย $x-2$

เพราะตัวหารคือ $x-2$ จึงใช้ $c=2$ ค่าสัมประสิทธิ์คือ $2$, $-3$, $4$ และ $-5$

ตอนนี้ทำขั้นตอนคูณแล้วบวก:

1. ดึงค่าสัมประสิทธิ์ตัวแรกลงมา: $2$
2. คูณ $2$ ด้วย $2$ ได้ $4$ แล้วนำไปบวกกับ $-3$ ได้ $1$
3. คูณ $1$ ด้วย $2$ ได้ $2$ แล้วนำไปบวกกับ $4$ ได้ $6$
4. คูณ $6$ ด้วย $2$ ได้ $12$ แล้วนำไปบวกกับ $-5$ ได้ $7$

ดังนั้นแถวล่างคือ $2$, $1$, $6$, $7$ ค่าสัมประสิทธิ์ของผลหารคือ $2$, $1$ และ $6$ ส่วนเศษคือ $7$

จึงได้ผลหารเป็น

$$2x^2 + x + 6$$

โดยมีเศษเป็น $7$ ดังนั้น

$$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x-2)(2x^2 + x + 6) + 7$$

และผลการหารยังเขียนได้เป็น

$$\frac{2x^3 - 3x^2 + 4x - 5}{x-2} = 2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x-2}$$

ทำไมนักเรียนจึงใช้การหารสังเคราะห์

การหารสังเคราะห์มีประโยชน์เมื่อคุณต้องการวิธีที่เร็วกว่าในการหารด้วย $x-c$ ทดสอบว่าพจน์เชิงเส้นหนึ่งเป็นตัวประกอบได้หรือไม่ หรือหาเศษอย่างรวดเร็ว

วิธีนี้มักปรากฏคู่กับทฤษฎีบทเศษเหลือและทฤษฎีบทตัวประกอบ ถ้าเศษเป็น $0$ แสดงว่า $x-c$ เป็นตัวประกอบของพหุนาม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหารสังเคราะห์

ใช้เครื่องหมายผิด

สำหรับตัวหาร $x-2$ ให้ใช้ $2$ สำหรับตัวหาร $x+2$ ให้ใช้ $-2$ เครื่องหมายเปลี่ยนเพราะ $x+2 = x-(-2)$

ลืมพจน์ที่หายไป

ถ้าคุณหาร $x^3 + 5x - 1$ รายการค่าสัมประสิทธิ์ไม่ใช่ $1, 5, -1$ แต่เป็น

$$1,\ 0,\ 5,\ -1$$

เพราะพจน์ $x^2$ หายไป

ใช้วิธีลัดกับตัวหารที่ไม่ถูกต้อง

การตั้งพื้นฐานใช้กับ $x-c$ ถ้าตัวหารเป็นอย่าง $2x-3$ อย่าใส่ $3$ ไว้ทางซ้ายแล้วทำต่อแบบเดิม ให้ใช้วิธีอื่น เว้นแต่คุณจะรู้วิธีตั้งแบบดัดแปลง

ลืมว่าตัวเลขตัวสุดท้ายหมายถึงอะไร

ตัวเลขสุดท้ายคือเศษ ไม่ใช่ค่าสัมประสิทธิ์ของผลหารอีกตัวหนึ่ง

คุณจะเจอเรื่องนี้เมื่อไร

การหารสังเคราะห์มักปรากฏเมื่อคุณ:

1. หารพหุนามด้วย $x-c$
2. ตรวจสอบว่านิพจน์เชิงเส้นเป็นตัวประกอบหรือไม่
3. ต้องการหาเศษ $P(c)$
4. ต้องการทางเลือกที่เร็วกว่าแทนการหารแบบยาวในกรณีพิเศษนี้

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

หาร $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ด้วย $x-1$ โดยใช้การหารสังเคราะห์ จากนั้นใช้เศษเพื่อตัดสินว่า $x-1$ เป็นตัวประกอบหรือไม่ ถ้าอยากลองอีกกรณี ให้ใช้พหุนามเดิมกับ $x-2$ แล้วเปรียบเทียบเศษที่ได้