조립제법 | GPAI STEM

조립제법은 다항식을 $x-c$ 꼴의 일차식으로 나눌 때 쓰는 빠른 계산법입니다. 다항식의 나눗셈을 길게 쓰지 않고 계수만 사용하므로, 나누는 식이 정확히 그 형태일 때 더 빠르게 계산할 수 있습니다.

이 조건은 중요합니다. 기본 조립제법은 $x-2$ 나 $x+5$ 처럼 실제로 $x-c$ 꼴인 나누는 식에만 적용됩니다. 나누는 식이 그 꼴이 아니라면, 억지로 이 방법을 쓰면 안 됩니다.

조립제법이 통하는 경우

나누는 식이 일차식이고 $x-c$ 로 쓸 수 있을 때 조립제법을 사용합니다. 예를 들면 $x-2$ , $x+3$ , $x-\frac{1}{2}$ 가 여기에 해당합니다.

나누는 식이 $2x-3$ 이라면, 보통의 조립제법은 바로 적용되지 않습니다. 이런 경우에는 다항식의 긴 나눗셈을 쓰거나, 식을 조심해서 다시 바꿔야 합니다.

다항식 $P(x)$ 를 $x-c$ 로 나눈다고 해 봅시다. 조립제법은 이 문제를 수 $c$ 와 $P(x)$ 의 계수를 이용한 반복적인 곱셈과 덧셈 과정으로 바꿉니다.

마지막 숫자는 나머지입니다. 그 앞의 숫자들은 모두 몫의 계수입니다. 나머지정리에 따르면, 마지막 숫자는 곧 $P(c)$ 이기도 합니다.

설정 방법은 다음과 같습니다.

어떤 항이 빠져 있다면, $0$ 은 선택이 아니라 필수입니다. 그래야 각 차수가 정확히 맞춰집니다.

$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ 를 $x-2$ 로 나누어 봅시다.

나누는 식이 $x-2$ 이므로 $c=2$ 를 사용합니다. 계수는 $2$ , $-3$ , $4$ , $-5$ 입니다.

이제 곱하고 더하는 과정을 진행합니다.

따라서 아래 줄은 $2$ , $1$ , $6$ , $7$ 이 됩니다. 몫의 계수는 $2$ , $1$ , $6$ 이고, 나머지는 $7$ 입니다.

그러므로 몫은

2x^2 + x + 6

이고 나머지는 $7$ 입니다. 따라서

2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x-2)(2x^2 + x + 6) + 7

이며, 나눗셈 결과는 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.

\frac{2x^3 - 3x^2 + 4x - 5}{x-2} = 2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x-2}

조립제법은 $x-c$ 로 더 빠르게 나누고 싶을 때, 가능한 인수를 시험해 보고 싶을 때, 또는 나머지를 빨리 구하고 싶을 때 유용합니다.

이 방법은 나머지정리와 인수정리와 함께 자주 등장합니다. 나머지가 $0$ 이면 $x-c$ 는 그 다항식의 인수입니다.

나누는 식이 $x-2$ 이면 $2$ 를 씁니다. 나누는 식이 $x+2$ 이면 $-2$ 를 씁니다. 이는 $x+2 = x-(-2)$ 이기 때문에 부호가 바뀌기 때문입니다.

$x^3 + 5x - 1$ 을 나눌 때 계수 목록은 $1, 5, -1$ 이 아닙니다. 실제로는

1,\ 0,\ 5,\ -1

입니다. $x^2$ 항이 빠져 있기 때문입니다.

기본 조립제법은 $x-c$ 를 위한 방법입니다. 나누는 식이 $2x-3$ 같은 꼴이라면, 왼쪽에 $3$ 을 적고 평소처럼 계속하면 안 됩니다. 수정된 방법을 알고 있지 않다면 다른 방법을 사용하세요.

마지막 숫자는 나머지이지, 몫의 또 다른 계수가 아닙니다.

조립제법은 다음과 같은 상황에서 등장합니다.

조립제법을 사용해 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ 을 $x-1$ 로 나누어 보세요. 그런 다음 나머지를 이용해 $x-1$ 이 인수인지 판단해 보세요. 한 문제 더 해 보고 싶다면, 같은 다항식을 $x-2$ 로도 나누고 나머지를 비교해 보세요.

문제를 올리면 검증된 단계별 풀이를 몇 초 만에 받을 수 있습니다.