综合除法

综合除法是把多项式除以形如 $x-c$ 的一次因式时使用的一种快捷方法。它用的是系数，而不是完整写出多项式长除法，所以当除式恰好是这种形式时会更快。

这个条件很重要。标准综合除法适用于像 $x-2$ 或 $x+5$ 这样的除式，因为它们本质上都能写成 $x-c$。如果除式不是这种形式，就不要硬套这个快捷方法。

什么时候可以用综合除法

当除式是一次式，并且能写成 $x-c$ 时，就可以用综合除法。这包括 $x-2$、$x+3$ 和 $x-\frac{1}{2}$。

如果除式是 $2x-3$，通常的综合除法设置就不能直接使用。这种情况下，应使用多项式长除法，或者谨慎地改写题目后再处理。

这些数字分别表示什么

设你要把多项式 $P(x)$ 除以 $x-c$。综合除法会把这个问题变成一连串“乘法再相加”的步骤，只用到数字 $c$ 和 $P(x)$ 的各项系数。

最后一个数是余数。它前面的每一个数都是商的系数。根据余数定理，最后这个数也等于 $P(c)$。

如何做综合除法

设置步骤如下：

1. 在左边写出数字 $c$。
2. 按 $x$ 的幂从高到低列出多项式的系数。
3. 如果缺少某一幂次，对应位置要补一个 $0$。
4. 先把第一个系数直接写下来。
5. 用它乘以 $c$，把结果写在下一个系数下面，再相加。
6. 重复这个过程，直到最后。

如果缺少某一项，补上的 $0$ 不是可有可无的。它的作用是保证每个幂次都对齐。

综合除法例题

用综合除法计算 $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ 除以 $x-2$。

因为除式是 $x-2$，所以取 $c=2$。各项系数分别是 $2$、$-3$、$4$ 和 $-5$。

现在开始做“乘法再相加”的步骤：

1. 先把第一个系数写下来：$2$。
2. 用 $2$ 乘以 $2$ 得到 $4$，再与 $-3$ 相加得到 $1$。
3. 用 $1$ 乘以 $2$ 得到 $2$，再与 $4$ 相加得到 $6$。
4. 用 $6$ 乘以 $2$ 得到 $12$，再与 $-5$ 相加得到 $7$。

所以底下一行得到的是 $2$、$1$、$6$、$7$。商的系数是 $2$、$1$ 和 $6$，余数是 $7$。

因此商为

$$2x^2 + x + 6$$

余数为 $7$。所以

$$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x-2)(2x^2 + x + 6) + 7$$

除法结果也可以写成

$$\frac{2x^3 - 3x^2 + 4x - 5}{x-2} = 2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x-2}$$

为什么学生会用综合除法

当你想更快地把多项式除以 $x-c$、检验一个可能的因式，或者快速求余数时，综合除法就很有用。

它经常和余数定理、因式定理一起出现。如果余数是 $0$，那么 $x-c$ 就是这个多项式的一个因式。

综合除法中的常见错误

符号用错

如果除式是 $x-2$，左边写 $2$。如果除式是 $x+2$，左边写 $-2$。符号会变化，因为 $x+2 = x-(-2)$。

忘记补缺项

如果你计算 $x^3 + 5x - 1$ 的综合除法，系数列表不是 $1, 5, -1$。而应该是

$$1,\ 0,\ 5,\ -1$$

因为缺少了 $x^2$ 项。

对不合适的除式硬用这个方法

基础的综合除法只适用于 $x-c$。如果除式像 $2x-3$，不要把 $3$ 写在左边就照常往下做。除非你知道修改后的做法，否则应改用其他方法。

忘记最后一个数的含义

最后一个数是余数，不是商的另一个系数。

你会在什么时候见到它

综合除法常见于以下情况：

1. 用 $x-c$ 去除一个多项式
2. 检查一个一次式是否为因式
3. 需要求余数 $P(c)$
4. 想在这种特殊情况下用比长除法更快的方法

试做一道类似的题

用综合除法计算 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ 除以 $x-1$。然后根据余数判断 $x-1$ 是否是一个因式。如果你还想再练一题，可以用同一个多项式去除以 $x-2$，并比较两个余数。