Dzielenie schematem Hornera

Dzielenie schematem Hornera to skrócona metoda dzielenia wielomianu przez dwumian liniowy postaci $x-c$. Zamiast zapisywać pełne pisemne dzielenie wielomianów, używasz samych współczynników, więc jest to szybsze, gdy dzielnik ma dokładnie taką postać.

Ten warunek ma znaczenie. Standardowy schemat Hornera działa dla dzielników takich jak $x-2$ lub $x+5$, bo są one postaci $x-c$. Jeśli dzielnik nie ma takiej postaci, nie próbuj na siłę używać tego skrótu.

Kiedy działa dzielenie schematem Hornera

Użyj schematu Hornera, gdy dzielnik jest liniowy i można go zapisać w postaci $x-c$. Obejmuje to $x-2$, $x+3$ oraz $x-\frac{1}{2}$.

Jeśli dzielnikiem jest $2x-3$, zwykły schemat nie ma tu bezpośredniego zastosowania. W takiej sytuacji użyj pisemnego dzielenia wielomianów albo ostrożnie przekształć zadanie.

Co oznaczają liczby

Załóżmy, że dzielisz wielomian $P(x)$ przez $x-c$. Schemat Hornera zamienia ten problem w powtarzające się kroki mnożenia i dodawania z użyciem liczby $c$ oraz współczynników wielomianu $P(x)$.

Ostatnia liczba to reszta. Każda liczba przed nią jest współczynnikiem ilorazu. Z twierdzenia o reszcie wynika też, że ta ostatnia liczba jest równa $P(c)$.

Jak wykonać dzielenie schematem Hornera

Aby je zapisać:

1. Zapisz liczbę $c$ po lewej stronie.
2. Wypisz współczynniki wielomianu przy malejących potęgach $x$.
3. Wstaw zero dla każdej brakującej potęgi.
4. Przepisz pierwszy współczynnik w dół.
5. Pomnóż przez $c$, zapisz wynik pod następnym współczynnikiem i dodaj.
6. Powtarzaj aż do końca.

Jeśli brakuje jakiegoś wyrazu, zero nie jest opcjonalne. Dzięki niemu każda potęga pozostaje na właściwym miejscu.

Przykład dzielenia schematem Hornera

Podziel $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ przez $x-2$.

Ponieważ dzielnik to $x-2$, przyjmujemy $c=2$. Współczynniki to $2$, $-3$, $4$ i $-5$.

Teraz wykonaj kroki mnożenia i dodawania:

1. Przepisz pierwszy współczynnik: $2$.
2. Pomnóż $2$ przez $2$, otrzymasz $4$, a potem dodaj do $-3$, aby dostać $1$.
3. Pomnóż $1$ przez $2$, otrzymasz $2$, a potem dodaj do $4$, aby dostać $6$.
4. Pomnóż $6$ przez $2$, otrzymasz $12$, a potem dodaj do $-5$, aby dostać $7$.

Zatem dolny wiersz to $2$, $1$, $6$, $7$. Współczynniki ilorazu to $2$, $1$ i $6$, a reszta wynosi $7$.

Otrzymujemy więc iloraz

$$2x^2 + x + 6$$

z resztą $7$. Czyli

$$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x-2)(2x^2 + x + 6) + 7$$

a wynik dzielenia można też zapisać jako

$$\frac{2x^3 - 3x^2 + 4x - 5}{x-2} = 2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x-2}$$

Dlaczego uczniowie używają schematu Hornera

Schemat Hornera jest przydatny, gdy chcesz szybciej podzielić przez $x-c$, sprawdzić możliwy czynnik albo szybko znaleźć resztę.

Często pojawia się razem z twierdzeniem o reszcie i twierdzeniem o czynniku. Jeśli reszta wynosi $0$, to $x-c$ jest czynnikiem wielomianu.

Typowe błędy w schemacie Hornera

Użycie złego znaku

Dla dzielnika $x-2$ użyj $2$. Dla dzielnika $x+2$ użyj $-2$. Znak się zmienia, ponieważ $x+2 = x-(-2)$.

Pomijanie brakujących wyrazów

Jeśli dzielisz $x^3 + 5x - 1$, lista współczynników nie ma postaci $1, 5, -1$. Powinna być

$$1,\ 0,\ 5,\ -1$$

ponieważ brakuje wyrazu z $x^2$.

Użycie skrótu dla niewłaściwego dzielnika

Podstawowy schemat działa dla $x-c$. Jeśli dzielnik ma postać na przykład $2x-3$, nie wpisuj po lewej stronie $3$ i nie kontynuuj jak zwykle. Użyj innej metody, chyba że znasz zmodyfikowany schemat.

Zapominanie, co oznacza ostatnia liczba

Ostatnia liczba to reszta, a nie kolejny współczynnik ilorazu.

Kiedy się z tym spotkasz

Dzielenie schematem Hornera pojawia się, gdy:

1. dzielisz wielomian przez $x-c$
2. sprawdzasz, czy wyrażenie liniowe jest czynnikiem
3. potrzebujesz reszty $P(c)$
4. chcesz użyć szybszej alternatywy dla pisemnego dzielenia w tym szczególnym przypadku

Spróbuj podobnego zadania

Podziel $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ przez $x-1$ za pomocą schematu Hornera. Następnie użyj reszty, aby zdecydować, czy $x-1$ jest czynnikiem. Jeśli chcesz jeszcze jeden przykład, spróbuj tego samego wielomianu z $x-2$ i porównaj reszty.