組立除法

組立除法は、多項式を $x-c$ の形の一次式で割るときの計算の近道です。多項式の筆算のように式をすべて書かず、係数だけを使って進めるので、割る式がその形のときはより速く計算できます。

この条件は重要です。標準的な組立除法が使えるのは、$x-2$ や $x+5$ のように、実際に $x-c$ と書ける除式です。その形でないなら、無理にこの方法を使わないでください。

組立除法が使える場合

組立除法は、除式が一次式で、しかも $x-c$ と書けるときに使います。たとえば $x-2$、$x+3$、$x-\frac{1}{2}$ がこれに当たります。

除式が $2x-3$ のような形なら、通常の組立除法はそのままでは使えません。その場合は、多項式の筆算を使うか、注意して式を変形してから考えます。

数の意味

多項式 $P(x)$ を $x-c$ で割るとします。組立除法では、その問題を、数 $c$ と $P(x)$ の係数を使った「かけて足す」操作の繰り返しに置き換えます。

最後の数は余りです。それより前に並ぶ数は、すべて商の係数です。余りの定理より、その最後の数は $P(c)$ にもなります。

組立除法のやり方

準備は次のとおりです。

1. 左に数 $c$ を書く。
2. 多項式の係数を、$x$ の次数が高い順に並べる。
3. 欠けている次数があれば、その係数として $0$ を入れる。
4. 最初の係数をそのまま下ろす。
5. それに $c$ をかけ、結果を次の係数の下に書いて足す。
6. 最後までこれを繰り返す。

項が抜けているとき、$0$ は省略できません。これによって各次数が正しく対応します。

組立除法の例

$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ を $x-2$ で割ります。

除式が $x-2$ なので、$c=2$ を使います。係数は $2$、$-3$、$4$、$-5$ です。

では、「かけて足す」操作を進めます。

1. 最初の係数 $2$ を下ろす。
2. $2$ に $2$ をかけて $4$ を得て、$-3$ に足して $1$。
3. $1$ に $2$ をかけて $2$ を得て、$4$ に足して $6$。
4. $6$ に $2$ をかけて $12$ を得て、$-5$ に足して $7$。

したがって、下の段は $2$、$1$、$6$、$7$ です。商の係数は $2$、$1$、$6$ で、余りは $7$ です。

よって、商は

$$2x^2 + x + 6$$

で、余りは $7$ です。したがって

$$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x-2)(2x^2 + x + 6) + 7$$

となり、割り算の結果は

$$\frac{2x^3 - 3x^2 + 4x - 5}{x-2} = 2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x-2}$$

とも書けます。

なぜ組立除法を使うのか

組立除法は、$x-c$ でより手早く割り算したいとき、因数になりそうか確かめたいとき、または余りをすぐ求めたいときに便利です。

この方法は、余りの定理や因数定理と一緒に出てくることがよくあります。余りが $0$ なら、$x-c$ はその多項式の因数です。

組立除法でよくあるミス

符号を間違える

除式が $x-2$ なら使う数は $2$ です。除式が $x+2$ なら使う数は $-2$ です。これは $x+2 = x-(-2)$ だからです。

抜けている項を忘れる

$x^3 + 5x - 1$ を割るとき、係数の並びは $1, 5, -1$ ではありません。正しくは

$$1,\ 0,\ 5,\ -1$$

です。$x^2$ の項が抜けているからです。

使えない除式にこの方法を使う

基本の組立除法は $x-c$ の形に対するものです。除式が $2x-3$ のような形なら、左に $3$ を書いてそのまま続けてはいけません。修正版のやり方を知っている場合を除き、別の方法を使いましょう。

最後の数の意味を取り違える

最後の数は余りであって、商の係数がもう1つあるわけではありません。

どんなときに出てくるか

組立除法は、次のような場面で出てきます。

1. 多項式を $x-c$ で割る
2. 一次式が因数かどうかを確かめる
3. 余り $P(c)$ を求める
4. この特別な場合に、筆算より速い方法を使いたい

似た問題に挑戦

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ を $x-1$ で組立除法を使って割ってみましょう。次に、余りを使って $x-1$ が因数かどうかを判断してください。もう1問やるなら、同じ多項式を $x-2$ で割って、余りを比べてみましょう。