ทฤษฎีบทตัวประกอบ — วิธีแยกตัวประกอบพหุนาม

ทฤษฎีบทตัวประกอบกล่าวว่า สำหรับพหุนาม $P(x)$ ตัวประกอบเชิงเส้น $(x-a)$ จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $P(a)=0$ พอดี นี่จึงเป็นวิธีที่เร็วมากวิธีหนึ่งในการตรวจว่ารากที่เราคาดไว้ช่วยให้แยกตัวประกอบพหุนามได้จริงหรือไม่

$$P(a)=0 \iff (x-a) \text{ is a factor of } P(x).$$

แทนที่จะต้องหารเต็มรูปแบบทุกครั้งที่เดาค่า คุณเพียงแทนค่าหนึ่งค่า ถ้าผลลัพธ์เป็นศูนย์ แสดงว่าคุณพบทั้งรากคือ $a$ และตัวประกอบเชิงเส้นที่สอดคล้องกันคือ $(x-a)$

ทฤษฎีบทตัวประกอบหมายความว่าอย่างไร

ถ้า $(x-a)$ เป็นตัวประกอบ จะสามารถเขียนพหุนามในรูป

$$P(x)=(x-a)Q(x)$$

โดยที่ $Q(x)$ เป็นพหุนามบางตัว จากนั้นแทน $x=a$:

$$P(a)=(a-a)Q(a)=0.$$

ดังนั้น การมีตัวประกอบจะทำให้เกิดค่าศูนย์ และทิศทางกลับกันก็สำคัญไม่แพ้กัน: ถ้าแทน $a$ แล้วได้ศูนย์ การหารด้วย $(x-a)$ จะมีเศษเป็น $0$ ดังนั้น $(x-a)$ จึงเป็นตัวประกอบจริง

นี่คือเหตุผลที่ทฤษฎีบทนี้เชื่อมโยงรากกับตัวประกอบ ถ้า $P(a)=0$ แล้ว $a$ คือรากของพหุนาม และ $(x-a)$ คือตัวประกอบเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

วิธีใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบในการแยกตัวประกอบพหุนาม

ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้บอกว่าควรลองค่า $a$ ใดก่อน มันบอกวิธีทดสอบค่าที่คาดไว้เมื่อคุณมีค่านั้นแล้ว

ในโจทย์ระดับโรงเรียนหลายข้อ ค่าจำนวนเต็มที่น่าลองมักมาจากตัวประกอบของพจน์คงที่ สำหรับพหุนามที่สัมประสิทธิ์หน้ากำลังสูงสุดเป็น 1 ค่าอย่าง $\pm 1$, $\pm 2$ และตัวหารอื่น ๆ ของพจน์คงที่ มักเป็นค่าที่ควรตรวจดูก่อน แต่นี่เป็นเพียงกลยุทธ์ ไม่ใช่การรับประกัน

ขั้นตอนทั่วไปมีสั้น ๆ ดังนี้:

1. เลือกค่าที่คาดไว้ $a$
2. คำนวณ $P(a)$
3. ถ้า $P(a)=0$ ให้เขียน $(x-a)$ เป็นตัวประกอบ
4. หารพหุนามด้วย $(x-a)$ แล้วแยกตัวประกอบต่อถ้าทำได้

ตัวอย่างทำจริง: แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสาม

จงแยกตัวประกอบ

$$P(x)=x^3-6x^2+11x-6.$$

ค่าที่น่าลองก่อนคือ $x=1$:

$$P(1)=1-6+11-6=0.$$

เพราะ $P(1)=0$ ทฤษฎีบทตัวประกอบจึงบอกว่า $(x-1)$ เป็นตัวประกอบ ตอนนี้หารด้วย $(x-1)$ เพื่อหาผลหาร:

$$x^2-5x+6.$$

ดังนั้น

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6).$$

พหุนามกำลังสองนี้ยังแยกตัวประกอบต่อได้:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

จึงได้การแยกตัวประกอบทั้งหมดเป็น

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).$$

ขั้นตอนสำคัญไม่ใช่เรื่องมหัศจรรย์ เราเพียงทดสอบค่าหนึ่งค่า พบค่าศูนย์ เปลี่ยนค่าศูนย์นั้นให้เป็นตัวประกอบ แล้วจบงานด้วยการแยกตัวประกอบตามปกติ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับทฤษฎีบทตัวประกอบ

สลับเครื่องหมายผิด

ถ้า $P(2)=0$ ตัวประกอบคือ $(x-2)$ ไม่ใช่ $(x+2)$

ทฤษฎีบทนี้จับคู่กับรูป $(x-a)$ ดังนั้นเครื่องหมายในตัวประกอบจะตรงข้ามกับเครื่องหมายของค่า $a$

หยุดเร็วเกินไป

การหาตัวประกอบได้หนึ่งตัวมักเป็นเพียงขั้นตอนแรก หลังจากได้ $(x-a)$ แล้ว ให้หารพหุนามและแยกตัวประกอบของผลหารต่อถ้าทำได้

คิดว่าพหุนามทุกตัวทดสอบด้วยจำนวนเต็มง่าย ๆ ได้

การลองจำนวนเต็มเล็ก ๆ มีประโยชน์ก็ต่อเมื่อโครงสร้างของโจทย์เอื้อให้ทำเช่นนั้น พหุนามบางตัวมีรากเป็นจำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ หรือจำนวนเชิงซ้อน แทนที่จะเป็นรากจำนวนเต็มง่าย ๆ

ลืมเงื่อนไขของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทนี้ใช้กับพหุนาม ไม่ใช่ทางลัดทั่วไปสำหรับนิพจน์พีชคณิตทุกแบบ

ทฤษฎีบทตัวประกอบมีประโยชน์เมื่อไร

ทฤษฎีบทตัวประกอบมีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อคุณต้องการ:

• ทดสอบว่ารากที่คาดไว้ใช้ได้จริงหรือไม่
• แยกตัวประกอบพหุนามทีละขั้น
• เชื่อมโยงค่าศูนย์กับตัวประกอบเชิงเส้น
• เตรียมใช้การหารสังเคราะห์ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น

มักใช้ร่วมกับทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์ อันที่จริง เมื่อคุณหารด้วย $(x-a)$ เศษที่ได้คือ $P(a)$ และทฤษฎีบทตัวประกอบก็คือกรณีพิเศษที่เศษนั้นเป็น $0$

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองใช้กระบวนการเดียวกันกับ

$$x^3-4x^2-x+4.$$

เริ่มจากทดสอบค่าที่คาดไว้ง่าย ๆ ก่อน ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบเพื่อยืนยันตัวประกอบเชิงเส้น แล้วจบการแยกตัวประกอบด้วยการหาร เพื่อตรวจคำตอบอย่างรวดเร็ว ให้กระจายตัวประกอบสุดท้ายกลับออกมาเพื่อดูว่าได้พหุนามเดิมหรือไม่