Phép chia tổng hợp

Phép chia tổng hợp là một cách rút gọn để chia một đa thức cho một ước tuyến tính có dạng $x-c$. Bạn dùng các hệ số thay vì viết đầy đủ phép chia đa thức dài, nên sẽ nhanh hơn khi ước số đúng chính xác có dạng đó.

Điều kiện này rất quan trọng. Phép chia tổng hợp chuẩn áp dụng cho các ước như $x-2$ hoặc $x+5$, vì chúng thực chất đều có dạng $x-c$. Nếu ước số không ở dạng đó, đừng cố dùng mẹo này.

Khi nào phép chia tổng hợp dùng được

Dùng phép chia tổng hợp khi ước số là bậc nhất và có thể viết dưới dạng $x-c$. Điều đó bao gồm $x-2$, $x+3$, và $x-\frac{1}{2}$.

Nếu ước số là $2x-3$, cách thiết lập thông thường không áp dụng trực tiếp. Trong trường hợp đó, hãy dùng phép chia đa thức dài hoặc biến đổi bài toán một cách cẩn thận.

Các con số có ý nghĩa gì

Giả sử bạn chia một đa thức $P(x)$ cho $x-c$. Phép chia tổng hợp biến bài toán đó thành các bước nhân rồi cộng lặp lại, dùng số $c$ và các hệ số của $P(x)$.

Số cuối cùng là số dư. Mọi số đứng trước nó là các hệ số của thương. Theo Định lý số dư, số cuối cùng đó cũng chính là $P(c)$.

Cách thực hiện phép chia tổng hợp

Để thiết lập:

1. Viết số $c$ ở bên trái.
2. Liệt kê các hệ số của đa thức theo lũy thừa giảm dần của $x$.
3. Thêm số $0$ cho mọi lũy thừa bị thiếu.
4. Hạ hệ số đầu tiên xuống.
5. Nhân với $c$, viết kết quả dưới hệ số tiếp theo, rồi cộng.
6. Lặp lại cho đến hết.

Nếu thiếu một hạng tử, số $0$ không phải là tùy chọn. Nó giúp giữ cho mọi lũy thừa được thẳng hàng chính xác.

Ví dụ về phép chia tổng hợp

Chia $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ cho $x-2$.

Vì ước số là $x-2$, ta dùng $c=2$. Các hệ số là $2$, $-3$, $4$, và $-5$.

Bây giờ thực hiện các bước nhân rồi cộng:

1. Hạ hệ số đầu tiên: $2$.
2. Nhân $2$ với $2$ được $4$, rồi cộng với $-3$ được $1$.
3. Nhân $1$ với $2$ được $2$, rồi cộng với $4$ được $6$.
4. Nhân $6$ với $2$ được $12$, rồi cộng với $-5$ được $7$.

Vậy hàng cuối là $2$, $1$, $6$, $7$. Các hệ số của thương là $2$, $1$, và $6$, còn số dư là $7$.

Do đó ta được thương

$$2x^2 + x + 6$$

với số dư $7$. Vậy

$$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x-2)(2x^2 + x + 6) + 7$$

và kết quả phép chia cũng có thể viết là

$$\frac{2x^3 - 3x^2 + 4x - 5}{x-2} = 2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x-2}$$

Vì sao học sinh dùng phép chia tổng hợp

Phép chia tổng hợp hữu ích khi bạn muốn có cách nhanh hơn để chia cho $x-c$, kiểm tra một nhân tử có thể có, hoặc tìm số dư thật nhanh.

Nó thường xuất hiện cùng với Định lý số dư và Định lý nhân tử. Nếu số dư bằng $0$, thì $x-c$ là một nhân tử của đa thức.

Những lỗi thường gặp khi dùng phép chia tổng hợp

Dùng sai dấu

Với ước số $x-2$, dùng $2$. Với ước số $x+2$, dùng $-2$. Dấu đổi vì $x+2 = x-(-2)$.

Quên các hạng tử bị thiếu

Nếu bạn chia $x^3 + 5x - 1$, danh sách hệ số không phải là $1, 5, -1$. Nó là

$$1,\ 0,\ 5,\ -1$$

vì thiếu hạng tử $x^2$.

Dùng mẹo này cho sai loại ước số

Cách thiết lập cơ bản dành cho $x-c$. Nếu ước số là dạng như $2x-3$, đừng đặt $3$ ở bên trái rồi tiếp tục như bình thường. Hãy dùng cách khác trừ khi bạn biết cách thiết lập đã được điều chỉnh.

Quên ý nghĩa của số cuối cùng

Số cuối cùng là số dư, không phải thêm một hệ số của thương.

Khi nào bạn sẽ gặp nó

Phép chia tổng hợp xuất hiện khi bạn:

1. chia một đa thức cho $x-c$
2. kiểm tra xem một biểu thức bậc nhất có phải là nhân tử hay không
3. cần số dư $P(c)$
4. muốn một cách nhanh hơn thay cho phép chia dài trong trường hợp đặc biệt này

Hãy thử một bài tương tự

Dùng phép chia tổng hợp để chia $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ cho $x-1$. Sau đó dùng số dư để quyết định xem $x-1$ có phải là một nhân tử hay không. Nếu muốn thêm một trường hợp nữa, hãy thử cùng đa thức đó với $x-2$ và so sánh các số dư.